Este artigo trata do panorama das discussões matemáticas mantidas entre os matemáticos à época em que Gödel apresentou à comunidade matemática seu teorema da incompletude. Argumenta-se que o Teorema da Incompletude de Gödel (TIG) é um teorema mais para a alma do que para as mãos dos matemáticos. Afirma-se ser ele importante porque mostra que a Matemática não pode comunicar (provar) todas as suas verdades. Porém, as provas de que a aritmética básica dos naturais é incompleta e incompletável e da impossibilidade de demonstrar a sua não contradição não impossibilita que a Matemática continue sendo produzida. A linha de argumentação exposta segue apresentando: o cenário matemático vigente no momento da publicação do TIG; o ponto de incidência deste resultado na Matemática, o impacto deste teorema nesta ciência, bem como, como ele foi compreendido e acolhido pelos matemáticos.Palavras-chave: Teorema da Incompletude de Gödel (TIG). Problema da Compatibilidade da Aritmética. Programa de Hilbert. Método Axiomático.AbstractThis article deals with the panorama of the mathematical discussions held among mathematicians at the time when Gödel introduced his incompleteness theorem to the mathematical community. It is argued that Gödel’s Incompleteness Theorem (TIG) is a more theorem for the soul than for the hands of mathematicians. It is said to be important because it shows that Mathematics can’t communicate (prove) all its truths. However, evidence that the basic arithmetic of the natural is incomplete and incomplete and that it is impossible to demonstrate its non-contradiction does not preclude mathematics from being produced. The line of argument exposed continues presenting: the mathematical scenario in force at the time of the publication of the TIG; The point of incidence of this result in Mathematics, the impact of this theorem on this science, as well as how it was understood and welcomed by mathematicians.Keywords: Gödel’s Incompleteness Theorem. Hilbert’s Second Problem. Hibert’s Program. Axiomatic Method.
Neste artigo apresentamos um estudo que teve como pergunta norteadora: O que é a beleza em Matemática e a beleza do teorema da incompletude de Gödel? Buscamos apresentar conteúdo identificável para o que entendemos como beleza no teorema da incompletude de Gödel. Para isso, um estudo bibliográfico foi realizado e diferentes noções de beleza na Matemática são trazidas e articuladas. Também apresentamos nosso entendimento sobre beleza no teorema de Gödel. Compreendemos que o sentido de beleza matemática de um teorema é o de uma iluminação que evidencia o resultado. Além disso, entendemos que essa luz se permite ser vista na medida em que se esteja familiarizado com a teoria e com o ferramental utilizado na demonstração, a ponto de ser possível perceber os axiomas utilizados, a concisão da prova, a originalidade da articulação das ideias, as possibilidades de generalização do resultado e as aberturas de novas frentes de pesquisa. Entendemos também que os conhecimentos construídos por Gödel na elaboração do seu teorema da completude foram fundamentais na visão do problema da consistência da aritmética e na abordagem escolhida para a demonstração da consistência da aritmética que se tornou a demonstração da incompletude da teoria da aritmética.
Este artigo discute a pertinência da crise nas ciências apresentadas pelo fenomenólogoEdmund Husserl diante do teorema da incompletude de Gödel. Com essa discussão objetiva-se exporo compreendido a respeito da importância de conhecer e compreender a incompletude da Matemática.Para isso realiza-se uma pesquisa qualitativa de cunho bibliográfico buscando o dito por algunspesquisadores das áreas de Filosofia, Matemática e Educação Matemática sobre a temática aquifocada. Neste estudo, considerações sobre a importância da compreensão da incompletude daMatemática são apresentadas com direcionamento aos matemáticos e, principalmente, aos nãomatemáticos, expondo possíveis implicações desse teorema nas vivências de sala de aula,evidenciando o escopo do método de produção da Matemática e questionando a ideia de que essaciência reina suprema em um oásis que só é acessível para alguns. Com o revés produzido peloteorema da incompletude para a possibilidade de completude em Matemática, entende-se que algomuda na compreensão dos limites do método axiomático. Disso, tem-se que a incompletude, apossibilidade de mudança e a transformação não se restringe ao sujeito que trabalha com aMatemática, mas também pode ocorrer na própria Matemática, que mesmo em suas estruturas maiscomplexas pode avançar através da produção de novos conhecimentos, como pode ser observado nosestudos da história da constituição e produção dessa ciência.
ResumoNeste estudo tratamos o tema demonstrações matemáticas com foco na atividade de demonstrar novamente resultados que já foram comprovados e buscamos entender as razões que impelem a prática matemática de elaboração de demonstrações alternativas. Expomos e justificamos nosso entendimento de que re-demonstrar e efetuar demonstrações alternativas é um modo de produzir matemática. Entendemos que na prática pedagógica ao ensinar matemática, a atividade de re-demonstrar e de efetuar demonstrações alternativas são importantes e destacamos a relevância de serem trabalhadas no ensino visando a aprendizagem dos professorandos em cursos de formação de professores de matemática.Palavras-chave: Demonstrações Matemáticas. Demonstrações Alternativas. Ensino Superior.AbstractIn this study, one deals with the topic of mathematical demonstrations with a focus on the activity of demonstrating results that have already been proven and one seek to understand the reasons that impel the mathematical practice of preparing alternative demonstrations. One exposes and justifies our understanding that re-demonstrating and performing alternative demonstrations is a manner of producing mathematics. One understands that in the pedagogical practice when teaching mathematics, the activity of re-demonstrating and making alternative demonstrations are important and one highlights the relevance of this content to be worked on formation teacher courses aiming the learning of the undergraduate students in mathematics.Keywords: Mathematical Demonstrations. Alternative Demonstrations. University Education.
Neste artigo apresentamos nosso entendimento sobre como alguns matemáticos acolheram os resultados estabelecidos pelo Teorema da Incompletude de Gödel. Compreendemos que a postura assumida por Bourbaki e revelada em suas obras diz desse modo de como os matemáticos recepcionaram este importante teorema bem como suas implicações. A atitude é de seguir fazendo Matemática com o mesmo ideal de formalização completa, mesmo ante a prova da existência de um conjunto não vazio de proposições verdadeiras e indecidíveis e consequentemente da incompletude de toda teoria que contenha a aritmética de Peano em sua formalização. Apresentamos também a perspectiva de Wittgenstein em relação ao TIG. Por fim, entendemos que esse teorema é compreendido pela comunidade como mensageiro da incompletude como uma característica da Matemática, não como um impedimento para o prosseguimento da atividade com sistemas formais e sim como um resultado revigorante para a Matemática.
O objetivo deste artigo foi divulgar o resultado da investigação sobre a constituição dos saberes da Lógica no curso de formação de professores de matemática da Universidade Estadual de Feira de Santana. Para isso, realizamos um estudo das ferramentas teórico-metodológicas apresentadas por Hofstetter e Schneuwly (2017) sobre os saberes profissionais constituídos para o ensino e a formação de professores. A discussão foi pautada por uma análise dos projetos político-pedagógicos desta Universidade desde a implantação do curso de Licenciatura Plena em 1976, passando pelo currículo 314 até o currículo 318-atualizado em 2018. A disciplina que trata dos saberes da Lógica pelos professores neste curso de formação de professores foi constituída no Departamento de Ciências Humanas e Filosofia sob o título de Tópicos Especiais em Lógica migrando para o Departamento de Ciências Exatas com o nome de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos implantada no currículo 318. Sendo educadores matemáticos, entendemos que os conteúdos transversais da Lógica são tratados nas demais disciplinas do curso o método dedutivo com teoria dos conjuntos como linguagem ou mesmo quando utilizados testes matemáticos, saberes de lógica proposicional e lógica de predicados.
Este artículo expone las principales cuestiones que, a nuestro entender, movieron los esfuerzos de los matemáticos en el momento de la demostración del teorema de incompletitud de Gödel, buscando mostrar que las herramientas matemáticas disponibles hasta ese momento fueron fundamentales para la elaboración de la demostración de Gödel. Así, este texto aborda este resultado junto con otros teoremas de imposibilidad de las Matemáticas y destaca que la metamatemática era conocida por Gödel y que esto no estaba claro para los autores de las pruebas de imposibilidad de los problemas clásicos de la Antigüedad. Además, exponemos que las pruebas finitas y los sistemas formales completos requeridos en el programa de Hilbert no pueden existir. Se trata de un estudio teórico de carácter bibliográfico realizado desde la perspectiva de un enfoque cualitativo. En la dimensión personal, la demostración de incompletitud se construyó como consecuencia del deseo/necesidad de obtener el título de Privatdozent en la Universidad de Viena y el esfuerzo inicial por demostrar la consistencia del análisis que se transmutó en otros problemas. Finalmente, presentamos que este teorema fue demostrado en 1931 principalmente porque Gödel conocía la existencia de pruebas de imposibilidad, distinguía las matemáticas de las metamatemáticas y buscaba atacar un problema de consistencia de la aritmética que estaba relacionado con la aritmética de los campos de las Matemáticas.
Este artigo apresenta uma análise dos relatos de futuros professores que cursaram a disciplina Instrumentalização para o Ensino de Matemática V – Geometria sobre uma experiência de ensino utilizando caleidoscópios de dois e três espelhos. O objetivo foi analisar a visão de futuros professores acerca da experiência de ensino com caleidoscópios. Esta experiência foi realizada durante duas aulas de 50 minutos em uma turma de 9º ano de uma escola pública da cidade de Feira de Santana/BA. Participaram todos os professorandos da disciplina que, em duplas, trabalharam com os alunos organizados em grupos utilizando caleidoscópios de 2 e 3 espelhos. Relatos dos futuros professores destacaram que ficaram encantados com a participação de todos os alunos na atividade; consideraram uma atividade muito interessante, a qual cativou tanto os futuros professores quanto aos alunos; e que, na experiência de ensino, desajustes foram percebidos e relatados, mas que estes geraram reflexões sobre as tarefas e algumas dificuldades manifestadas pelos alunos. Considerando esses relatos e compreendendo o professor como um profissional que tem por tarefa ensinar, e a formação como forma/ação, pode-se concluir que a experiência de ensino foi prazerosa para alunos e professorandos, mostrando que os caleidoscópios são recursos promissores no ensino dos conceitos de geometria, com fácil aderência e implementação em aulas futuras.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.