Cenário do Surgimento e o Impacto do Teorema da Incompletude de Gödel na Matemática

Abstract

Este artigo trata do panorama das discussões matemáticas mantidas entre os matemáticos à época em que Gödel apresentou à comunidade matemática seu teorema da incompletude. Argumenta-se que o Teorema da Incompletude de Gödel (TIG) é um teorema mais para a alma do que para as mãos dos matemáticos. Afirma-se ser ele importante porque mostra que a Matemática não pode comunicar (provar) todas as suas verdades. Porém, as provas de que a aritmética básica dos naturais é incompleta e incompletável e da impossibilidade de demonstrar a sua não contradição não impossibilita que a Matemática continue sendo produzida. A linha de argumentação exposta segue apresentando: o cenário matemático vigente no momento da publicação do TIG; o ponto de incidência deste resultado na Matemática, o impacto deste teorema nesta ciência, bem como, como ele foi compreendido e acolhido pelos matemáticos.Palavras-chave: Teorema da Incompletude de Gödel (TIG). Problema da Compatibilidade da Aritmética. Programa de Hilbert. Método Axiomático.AbstractThis article deals with the panorama of the mathematical discussions held among mathematicians at the time when Gödel introduced his incompleteness theorem to the mathematical community. It is argued that Gödel’s Incompleteness Theorem (TIG) is a more theorem for the soul than for the hands of mathematicians. It is said to be important because it shows that Mathematics can’t communicate (prove) all its truths. However, evidence that the basic arithmetic of the natural is incomplete and incomplete and that it is impossible to demonstrate its non-contradiction does not preclude mathematics from being produced. The line of argument exposed continues presenting: the mathematical scenario in force at the time of the publication of the TIG; The point of incidence of this result in Mathematics, the impact of this theorem on this science, as well as how it was understood and welcomed by mathematicians.Keywords: Gödel’s Incompleteness Theorem. Hilbert’s Second Problem. Hibert’s Program. Axiomatic Method.

Os Teoremas da Incompletude de Gödel e possibilidades que abrem ao ensino e à aprendizagem de Matemática e Física

“…As ideias centrais do Logicismo giraram em torno das proposições analíticas da lógica, uma vez que estas eram tidas como o fundamento sobre o qual o conhecimento matemático poderia se justificar. Assim, a proposta logicista apresentava dois eixos importantes: a) os axiomas matemáticos são princípios da lógica; e b) a Matemática pode ser deduzida da lógica (BATISTELA et al, 2018).…”

“…Os Principia Mathematica mencionados no título do artigo de Gödel, são os três volumes do tratado de Russell e Whitehead sobre Lógica Matemática e fundamentos da Matemática. Gödel mostrou que o sistema utilizado nos Principia ou qualquer outro sistema, no âmbito do qual a aritmética de Peano possa ser desenvolvida, é essencialmente incompleto (BATISTELA et al, 2018).…”

“…No artigo original de Gödel, Decorre disso uma compreensão, da própria comunidade matemática, a respeito de que o trabalho do matemático seria investigar se as conclusões matemáticas obtidas são consequências lógicas necessárias das pressuposições iniciais, ao invés de averiguar se os postulados ou as conclusões assumidas são verdadeiros. Unindo-se essa compreensão à crescente abstração da Matemática, levanta-se a questão de saber se um dado conjunto de postulados, tomados como fundamento de um sistema, é internamente consistente (BATISTELA et al, 2018).…”

O processo de validação de verdades matemáticas em sua historicidade

“…A surpresa foi que, analisando o axioma da escolha e o axioma da infinidade, ambos da teoria ZF, conclui-se que eles não poderiam ser inerentes à lógica. De acordo com Batistela et al (2017), tais axiomas só seriam aceitos como pertencentes à lógica se aceitos em função de seus conteúdos e não de suas formas sintáticas, o que seria contrário à definição de proposições aceitas pelos lógicos. "A escola logicista fracassou devido à impossibilidade de ela própria mostrar concretamente que todas as proposições matemáticas poderiam ser expressas na terminologia lógica e, que todas as proposições matemáticas verdadeiras são as expressões verdadeiras para a lógica" (Batistela et al, 2017, p. 200).…”

A Relevância De Conhecer E Compreender a Incompletude Da Matemática: Um Olhar Fenomenológico Sobre O Teorema Da Incompletude De Gödel

“…Aqui, destaca-se também a discussão do fenomenólogo Edmund Husserl (1859Husserl ( -1938, cujo olhar lançado ao conhecimento abarca também a Matemática em seu modo de mostrar-se e constituir-se. (BATISTELA et al, 2017).…”