o que o teorema acima diz, de certa forma, é que βN está "bem longe" de ser comutativo. De fato, seguindo nesta mesma ideia, o próximo fato fundamental sobre βN é este: Teorema 2.6. N é o centro de (βN, +) e de (βN, •). Demonstração. Pelo teorema 1.38, N está contido nos centros de (βN, +) e de (βN, •). Considere A = {2 n : n ∈ N}. Sejam p ∈ N * e q ∈ A *. Pelo lema 2.4, φ(p + q) = φ(q). Por outro lado, dados m, n ∈ N tais que n > m, temos que φ(m + n) = φ(n) ou φ(m + n) = φ(n) + 1. Para cada m ∈ N, {n ∈ N : φ(m + n) = φ(n)} ∈ p ou {n ∈ N : φ(m + n) = φ(n) + 1} ∈ p (pois p ∈ N *). No primeiro caso, temos que p ∈ cl{n ∈ N : φ(m + n) = φ(n)}, logo φ(m + p) = φ(p). No segundo caso, φ(m + p) = φ(p) + 1. Temos também que {m ∈ N : φ(m + p) = φ(p)} ∈ q ou que {m ∈ N : φ(m + p) = φ(p) + 1} ∈ q. Portanto, φ(q + p) = φ(p) ou φ(q + p) = φ(p) + 1. Como φ A é bijetora e |A * | = 2 c , então podemos tomar q ∈ A * tal que φ(q) / ∈ { φ(p), φ(p) + 1}. Assim, φ(p + q) = φ(q) = φ(q + p). Destarte, p + q = q + p e logo p / ∈ Z((βN, +)). Agora, dados m, n ∈ N, φ(m • 2 n) = φ(m) + n = φ(m) + φ(2 n). Portanto, dados p ∈ N * e q ∈ A * , temos: φ(p • q) = lim m→p lim 2 n →q φ(m • 2 n) = lim m→p lim 2 n →q (φ(m) + φ(2 n)) = lim m→p (φ(m) + φ(q)) = φ(p) + φ(q). De forma completamente análoga, φ(q • p) = φ(q) + φ(p). Agora, pelo 1.26(e), como φ é finita-por-unitários, φ(p) ∈ N * , logo, como acabamos de provar, φ(p) / ∈ Z((βN, +)), logo tome r ∈ N * tal que φ(p) + r = r + φ(p). Novamente, como φ A é bijetora, seja q ∈ A * tal que φ(q) = r. Então temos que φ(p • q) = φ(p) + φ(q) = φ(p) + r = r + φ(p) = φ(q) + φ(p) = φ(q • p), e assim p • q = q • p. Ou seja p / ∈ Z((βN, •)). Note que disso segue que, pelo teorema 1.38, N = Z((βN, +)) = Λ((βN, +)) e N = Z((βN, •)) = Λ((βN, •)). Agora investigaremos propriedades que tornam o semigrupo H interessante. O primeiro deles foi extraído da página 110 de [1]. Mas antes precisaremos do seguinte lema (cujo enunciado é um exercício encontrado na página 79): Lema 2.7. Sejam (S, •) um semigrupo, k ∈ N\{1}, e p 1 ,. .. , p k ∈ βS. Considere D ⊂ {∅} ∪ k−1 i=1 S i , com ∅ ∈ D. Suponha que, para cada σ ∈ D, há um A σ ⊂ S de forma que:
