Painlevé's problem and the semiadditivity of analytic capacity

Abstract

Let γ(E) be the analytic capacity of a compact set E and let γ+(E) be the capacity of E originated by Cauchy transforms of positive measures. In this paper we prove that γ(E) ≈ γ+(E) with estimates independent of E. As a corollary, we characterize removable singularities for bounded analytic functions in terms of curvature of measures, and we deduce that γ is semiadditive.

Boundedness and applications of singular integrals and square functions: a survey

“…As mentioned above, Christ's local Tb theorem (Theorem 4.1) was motivated in part by its connection with the theory of analytic capacity and the Painlevé problem, which was eventually solved in the remarkable work of Tolsa [88]. See also the earlier work of Mattila, Melnikov and Verdera [77], and David [41,42].…”

Условия $C^m$-приближаемости функций решениями эллиптических уравнений

“…Изучение множеств устранимых особенностей решений однородных эл-липтических уравнений и связанных с ними емкостей в различных классах функций (в основном классических: C m , L p , BM O и др.). Кроме цитируемых выше работ К. Толсы [47], [5] и [41] мы выделим ряд наиболее ярких (на наш взгляд) работ последних лет: [102]- [108], открывающих глубокие связи теории емкостей, геометрической теории меры и теории сингулярных интегралов. От-метим также работы [109], [110], в которых изучаются геометрические свойства некоторых емкостей, обсуждавшихся в связи с рассматриваемыми аппроксима-ционными задачами.…”

Sharp Examples for Planar Quasiconformal Distortion of Hausdorff Measures and Removability

“…(The converse direction is due to Garabedian and Calderón, see [Cal77], [Gar49].) The countable semiadditivity of analytic capacity, due to Tolsa [Tol03], implies that this result remains true if we only assume H 1 (E) to be σ-finite.…”