Abstract. Let X be a metric space with doubling measure, and L be a non-negative, self-adjoint operator satisfying Davies-Gaffney bounds on L 2 (X). In this article we develop a theory of Hardy and BMO spaces associated to L, including an atomic (or molecular) decomposition, square function characterization, duality of Hardy and BMO spaces. Further specializing to the case that L is a Schrödinger operator on R n with a non-negative, locally integrable potential, we establish addition characterizations of such Hardy space in terms of maximal functions. Finally, we define Hardy spaces H p L (X) for p > 1, which may or may not coincide with the space L p (X), and show that they interpolate with H 1 L (X) spaces by the complex method.
On considère la classe des variétés riemanniennes complètes non compactes dont le noyau de la chaleur satisfait une estimation supérieure et inférieure gaussienne. On montre que la transformée de Riesz y est bornée sur L p , pour un intervalle ouvert de p au-dessus de 2, si et seulement si le gradient du noyau de la chaleur satisfait une certaine estimation L p pour le même intervalle d'exposants p.One considers the class of complete non-compact Riemannian manifolds whose heat kernel satisfies Gaussian estimates from above and below. One shows that the Riesz transform is L p bounded on such a manifold, for p ranging in an open interval above 2, if and only if the gradient of the heat kernel satisfies a certain L p estimate in the same interval of p's.MSC numbers 2000: 58J35, 42B20
We prove the Kato conjecture for elliptic operators on R n. More precisely, we establish that the domain of the square root of a uniformly complex elliptic operator L = −div (A∇) with bounded measurable coefficients in R n is the Sobolev space H 1 (R n) in any dimension with the estimate √ Lf 2 ∼ ∇f 2 .
First, we show that the known ranges of boundedness in L p for the heat semigroup and Riesz transform of L, are sharp. In particular, the heat semigroup e −tL need not be bounded inThen we provide a complete description of all Sobolev spaces in which L admits a bounded functional calculus, in particular, where e −tL is bounded.Secondly, we develop a comprehensive theory of Hardy and Lipschitz spaces associated to L, that serves the range of p beyond [2n/(n + 2), 2n/(n − 2)]. It includes, in particular, characterizations by the sharp maximal function and the Riesz transform (for certain ranges of p), as well as the molecular decomposition and duality and interpolation theorems.R. -Soit L un opérateur elliptique du second ordre de formes de divergence, à coefficients complexes bornés et mesurables. Les opérateurs associés à L tels que le semi-groupe de la chaleur ou la transformée de Riesz ne sont en général pas de type Calderón-Zygmund et présentent des comportements différents de leurs analogues construits à partir du laplacien. Cet article a pour objectif de décrire de manière exhaustive les propriétés de ces opérateurs dans L p , dans les espaces de Sobolev ainsi que dans certains nouveaux espaces de Hardy naturellement associés à L. Tout d'abord, nous montrons que les plages de valeurs connues pour lesquelles ces opérateurs sont bornés en norme L p sont strictes. En particulier, le semi-groupe de la chaleur et la transformée de Riesz ne sont pas obligatoirement bornés si p ∈ [2n/(n + 2), 2n/(n − 2)]. Nous fournissons ensuite une description complète de tous les espaces de Sobolev pour lesquels L admet un calcul fonctionnel borné, en particulier, pour lesquels e −tL est borné.Puis, nous développons une théorie extensive des espaces de Hardy et de Lipschitz associés à L, pour les valeurs de p hors de [2n/(n + 2), 2n/(n − 2)]. Cette théorie comprend, en particulier, des caractérisations par la fonction maximale « dièse » et par la transformée de Riesz (pour certaines plages de p), ainsi que leur décomposition moléculaire, leur dualité et les théorèmes d'interpolation.ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 0012-9593/05
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.