Предложен элементарный подход с позиций гармонического анализа к феномену сокращающих и слабо сокращающих дифференциальных операторов, позволяющий распространить эти понятия на анизотропную ситуацию, а также заменить дифференциальные операторы мультипликаторами Фурье более общего вида с малыми требованиями гладкости. В такой более общей постановке с анизотропно однородными мультипликаторами Фурье доказаны неравенство $\|f\|_{L_\infty } \lesssim \|Af\|_{L_1}$ в случае, когда $A$ - слабо сокращающий оператор порядка $d$, и неравенство $\|f\|_{L_2} \lesssim \|Af\|_{L_1}$, где $A$ - сокращающий оператор порядка $d/2$; здесь $f$ - функция $d$ переменных.
Пусть $\mathcal{W}$ - замкнутое инвариантное относительно сдвигов и растяжений линейное подпространство класса $\mathbb{R}^\ell$-значных обобщенных функций умеренного роста $d$ переменных. Работа посвящена доказательству следующего
результата: если пространство $\mathcal{W}$ не содержит обобщенных функций вида $a\otimes \delta_0$, где $\delta_0$ - дельта Дирака, то для всякой функции $f\in\mathcal{W}\cap L_1$ верно неравенство
$$
\|\operatorname{I}_\alpha [f]\|_{L_{d/(d-\alpha),1}}\lesssim \|f\|_{L_1},
$$
причем константа в нем не зависит от функции $f$; $\operatorname{I}_\alpha$ обозначает потенциал Рисса порядка $\alpha$, а $L_{p,1}$ - пространство Лоренца. Частными случаями этого результата являются неравенство
$$
\|\nabla^{m-1} f\|_{L_{d/(d-1),1}} \lesssim \|A f\|_{L_1},
$$
где $A$ - сокращающий эллиптичный дифференциальный оператор порядка $m$, и неравенство
$$
\|\operatorname{I}_\alpha f\|_{L_{d/(d-\alpha),1}} \lesssim \|f\|_{L_1},
$$
где $f$ - соленоидальное векторное поле.
Библиография: 59 названий.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.