Hardy-Littlewood-Sobolev inequality for $p=1$

Abstract

Пусть $\mathcal{W}$ - замкнутое инвариантное относительно сдвигов и растяжений линейное подпространство класса $\mathbb{R}^\ell$-значных обобщенных функций умеренного роста $d$ переменных. Работа посвящена доказательству следующего результата: если пространство $\mathcal{W}$ не содержит обобщенных функций вида $a\otimes \delta_0$, где $\delta_0$ - дельта Дирака, то для всякой функции $f\in\mathcal{W}\cap L_1$ верно неравенство $$ \|\operatorname{I}_\alpha [f]\|_{L_{d/(d-\alpha),1}}\lesssim \|f\|_{L_1}, $$ причем константа в нем не зависит от функции $f$; $\operatorname{I}_\alpha$ обозначает потенциал Рисса порядка $\alpha$, а $L_{p,1}$ - пространство Лоренца. Частными случаями этого результата являются неравенство $$ \|\nabla^{m-1} f\|_{L_{d/(d-1),1}} \lesssim \|A f\|_{L_1}, $$ где $A$ - сокращающий эллиптичный дифференциальный оператор порядка $m$, и неравенство $$ \|\operatorname{I}_\alpha f\|_{L_{d/(d-\alpha),1}} \lesssim \|f\|_{L_1}, $$ где $f$ - соленоидальное векторное поле. Библиография: 59 названий.