Let W be a closed dilation and translation invariant subspace of the space of R ℓ -valued Schwartz distributions in d variables. We show that if the space W does not contain distributions of the type a ⊗ δ0, δ0 being the Dirac delta, then the inequality ∥ Iα[f ]∥L d/(d−α),1 ≲ ∥f ∥L 1 holds true for functions f ∈ W ∩ L1 with a uniform constant; here Iα is the Riesz potential of order α and Lp,1 is the Lorentz space. As particular cases, this result implies the inequality ∥∇ m−1 f ∥L d/(d−1),1 ≲ ∥Af ∥L 1 , where A is a cancelling elliptic differential operator of order m, and the inequality ∥ Iα f ∥L d/(d−α),1 ≲ ∥f ∥L 1 , where f is a divergence free vector field.Bibliography: 59 titles.
Предложен элементарный подход с позиций гармонического анализа к феномену сокращающих и слабо сокращающих дифференциальных операторов, позволяющий распространить эти понятия на анизотропную ситуацию, а также заменить дифференциальные операторы мультипликаторами Фурье более общего вида с малыми требованиями гладкости. В такой более общей постановке с анизотропно однородными мультипликаторами Фурье доказаны неравенство $\|f\|_{L_\infty } \lesssim \|Af\|_{L_1}$ в случае, когда $A$ - слабо сокращающий оператор порядка $d$, и неравенство $\|f\|_{L_2} \lesssim \|Af\|_{L_1}$, где $A$ - сокращающий оператор порядка $d/2$; здесь $f$ - функция $d$ переменных.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.