In einer Reihe Abhandlungen, unter denen die nachstehende die erste ist, beabsichtige ich eine neue Theorie, die ich die :Theo~'/e der Trar~formationsgruppen nenne, zu entwickeIn. Die betreffenden Untersuchungen, mit denen ich reich self 1873 elfrig besch~iftige*), haben, wie der Leser bemerken wird, viele Ber/ihrungspunkte mit mehreren mathematischen Disciplinen, insbesondere mit der Substitutionstheorie ; mit der Geometrie und der modernen Mannigfaltigkeitslehre; und endlich auch mit der Theorie der Differentialgleichungen. Am Schlusse dieser Arbeit f•hre ich alle fr[iheren mir bekannten Untersuchungen auf, die mit meiner Theorie der Transformationsgruppen mehr oder weniger verwandt sind.Diese erste Abhandlung zerf'dllt in zwei Abschnitte, yon denen der erste die Bestimmung aller Transformationsgruppen einer einfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit liefert, w~hrend der zweite alte Gruppen einer zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit bestimmt. Sp~tere Abhandlungen werdeu einerseits die allgemeine Theorie einer n-f~ch ausgedehnten Mannigfaltigkeit behandeln, andererseits im Anschlusse aa die dargestellten Theorien neue Geslchtspunkte fiir die allgemeine Theorie der Differentialgleichungen entwickeln. ~b s c h n i~ I. Bestimmung aller Transformationsgruppen einer einfach aus.gedehnten ]L~nnigfaltigkeit.In diesem ersten Abschnitte erledige ich ein allgemeines Problem, das ich folgendermassen formulire.

Von SoP~us LIE in Leipzig. (Die nachs~ehende Arbei~ erschien zum ers~en Male im Fr~ihling 1883 im norwegisehen Archly.) In einer kurzen Note zur Gesellschaff der Wissenschaf~en in GSt~ingen (3. December 1874) gab ich u. A. eine Aufziihlung aller continuirlichen Gruppen yon Transformationen zwischen zwei Variabeln x und y. Ich lenkte ausdrticklich und stark die Aufmerksamkeit darauf, dass sigh hierauf eine Classification und eine ra~onelle In~egrationstheorie aller Differentialgleichungen f(xy~" ... y(,~) -= o, die eine continuirliche Transformationsgruppe gesfa~en, begriinden liisst. Sparer habe ich nun das hiermit scizzirte grosse Programm mehr im Detail ausgefiihrt. So gab ich in den Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Christiania (1874")) eine rationeUe Methode zur Integration yon linearen par~ellen Differentia]gleichungen mit einer Reihe bekann~er infmitesimaler Transformationen; hiermil hatte ieh dann gleichzeitig eine vollstiindige ]ntegrationstheorie yon gewShnlichen Differ entialgleichungen f(xyy" ... y(r~)) = 0 mit bel~annten intinitesimalen Transformationen erhalten. I ch gab ferner in mehreren Abhandlungen**) in diesem Archiv (1876, 78) eine Dars~ellung yon denjenigen Methoden, vermSge deren ich in den *) Die betreffende Krbeit i~t im Wesentlichen rel)~oducir~ in dan Ma~ Aan. Bd. XL **) Diese Abhandlungen sind theilweise (aber nieh~ vollst~dig) in den Math. Ann~ Bd. Xu in neuer Bearbeitung reproducir~ worden.

No abstract

In der nachstehenden Abhandlung behandle ich ein allgemeines Problem, das sich auf die geod~tischen Curven der Fl~ichen bezieht. Dasselbe steht in einem gewissen Zusammenhange mit einigen schSnen Untersuchungen yon Beltrami (Annali di matematica Serie I, t. VH) und' yon Dini (Annali die matematica, Serie lI, t. III), welche ich zun~ichst besprechen werde.B e 1 tra m i machte zuerst darauf aufmerksam, dass die geod~tischen Curven einer Fl~iche constanter Kriimmung sich immer dars~llen lassen durch eine solche Gleichung zwischen den krmnmlinigen (G a u s si schen) Coordinated x, y und den beiden arbitriiren Constanten a und b, die linear hinsichtlich aund b ist und somit die Formbesitzt. Interpretirt man die GrSssen X, Y als Cartesische Punktcoordinaten i'n einer Ebene, so erhiilt man eine Abbildung der Fliiche auf die Ebene, bei der jeder Punkt xy der Fl~iche dem Punkte X Y der Ebene zugeordnet ist, und bei der die geodiitischen Curven der Fl~ehe den geraden Linien der Ebene enisprechen. Bel~rami land ferner, dass die Fliiehen constanter Kriimmung die einzigen sind, die sich in dieser Weise auf eine Ebene abbilden lassen. Indem er nun bemerkte, dass die geraden Linien der Ebene gleichzeitig geod~itische Curven derselben sind, wurde er dazu gefiihrt, das folgende allgemeine Problem zu stellen: Man soll in allgemeinster Weise zwei zusammen-gehSrige Fl~ichen finden, die nicht auf einander abwickelbar sind und welche nichtsdestoweniger sieh derart auf einander abbilden lassen, dass jedem Punkte der einen Fliiche ein Punkt oder einige Pankte der zweiten zugeordnet sind, und dabei den geodiitischen Cur~;en der ersten Fl~iche ebensolche Curven der zweiten Fl~che entsprechen. Eben dieses &nscheinend sehr schwierige Problem behandelt nun D ini in der eben citirten ausgezeichneten hbhandlung und finder dabei den Satz, dass *) v. Mangold~ und Weingarten zeig~en neuerdings, dass yon den Christofferschen ClaBsen nur die allgemeine und diejenige, welehe den Fl~chen constan~er Krfimmung entspricht, existiren. Siehe Berichte der Freiburger (~esellschaft, bez. der Berliner Akademie yon 1882. [Juni 1882.]

Ueber Complexe, insbesondere Linien-mid Kugcl-Comph,xe, m i t A n w e n d u n g auf die Theorie p~n't.ielh,r l)ifll,rt.nJialGleichtmgen.Vol~ SopuuS lm,~' in ('t~ats'rtANXa. I.Die rasche Entwickelung der Geometrie in tmserem .lahrhumlert ist bekannLlich innig mit philosophischen Betraehtungeu ilber alas Wesen der C a r t e s i s e h e n Geometric verkn{ipft, Betrachtungen. die in ihrer allgemeinsten Form yon Plfieker in seinen et.~t,,n Arbeiten auseinandergesetzt, woMeu sind. li'fir denjenigen, der in den tleisI der Pliicker'sehen Werke elngedrungen ist, wird der Godauke, dass man vine jedc Curve, die yon drei Parametern abhi~ngt, als Raumelement anwenden kann, nichts wesentlieh Neues enihalteu, mtd weun doeh Niomand, soviel ieh weiss, diese hh,e ausgef|lhrt haL, so glaube ieh (lie Ursaehe darin suehen zu milssen, dass ma, dersolb~,n kei/ten praktisehen Werth beigelegt hat. Ieh bin zu ,,ilwm Studium tier genannten Theorie dadureh gef'iihrt worden~ dass ich eine merkwitrdige Transformation entdeckte, die einen genauen Zusammenhang zwischen Krfimmungslinien und Haupttangenten-Curven darlegt~ und es ist meine Absieht~ in der folgenden Abhandung die Resultaie, die ieh in die*or Weise erhalten hab% auseinander zu setzen.Im Im zweiten Abschnitte setze ich voraus, dass die Gleichungen xw t -~-0, ~2 ~ 0 hinsichtlich beider Systeme yon Veriinderlichen linear sind, und zwar untersucho, ieh insbesondere das System: