Untersuchungen �ber geod�tische Curven

Abstract

In der nachstehenden Abhandlung behandle ich ein allgemeines Problem, das sich auf die geod~tischen Curven der Fl~ichen bezieht. Dasselbe steht in einem gewissen Zusammenhange mit einigen schSnen Untersuchungen yon Beltrami (Annali di matematica Serie I, t. VH) und' yon Dini (Annali die matematica, Serie lI, t. III), welche ich zun~ichst besprechen werde.B e 1 tra m i machte zuerst darauf aufmerksam, dass die geod~tischen Curven einer Fl~iche constanter Kriimmung sich immer dars~llen lassen durch eine solche Gleichung zwischen den krmnmlinigen (G a u s si schen) Coordinated x, y und den beiden arbitriiren Constanten a und b, die linear hinsichtlich aund b ist und somit die Formbesitzt. Interpretirt man die GrSssen X, Y als Cartesische Punktcoordinaten i'n einer Ebene, so erhiilt man eine Abbildung der Fliiche auf die Ebene, bei der jeder Punkt xy der Fl~iche dem Punkte X Y der Ebene zugeordnet ist, und bei der die geodiitischen Curven der Fl~ehe den geraden Linien der Ebene enisprechen. Bel~rami land ferner, dass die Fliiehen constanter Kriimmung die einzigen sind, die sich in dieser Weise auf eine Ebene abbilden lassen. Indem er nun bemerkte, dass die geraden Linien der Ebene gleichzeitig geod~itische Curven derselben sind, wurde er dazu gefiihrt, das folgende allgemeine Problem zu stellen: Man soll in allgemeinster Weise zwei zusammen-gehSrige Fl~ichen finden, die nicht auf einander abwickelbar sind und welche nichtsdestoweniger sieh derart auf einander abbilden lassen, dass jedem Punkte der einen Fliiche ein Punkt oder einige Pankte der zweiten zugeordnet sind, und dabei den geodiitischen Cur~;en der ersten Fl~iche ebensolche Curven der zweiten Fl~che entsprechen. Eben dieses &nscheinend sehr schwierige Problem behandelt nun D ini in der eben citirten ausgezeichneten hbhandlung und finder dabei den Satz, dass *) v. Mangold~ und Weingarten zeig~en neuerdings, dass yon den Christofferschen ClaBsen nur die allgemeine und diejenige, welehe den Fl~chen constan~er Krfimmung entspricht, existiren. Siehe Berichte der Freiburger (~esellschaft, bez. der Berliner Akademie yon 1882. [Juni 1882.]

Normal forms of two-dimensional metrics admitting exactly one essential projective vector field

“…

We give a complete list of mutually non-diffeomorphic normal forms for the two-dimensional metrics that admit one essential (i.e., non-homothetic) projective vector field. This revises some results in [25] and extends the results of [10,25], solving a problem posed by Sophus Lie in 1882 [22]. MSC 2010 classes: 53A20, 53A55, 53B10 Keywords: projective connections; projective symmetries; projectively equivalent metrics Problem 1 (Lie, 1882).

…”

“…Note that Theorems 2 and 3 constitute corrections of two results found in [25], namely Theorems 2 and 3 of this reference. As a by-product of the proof of Theorem 4, we also obtain a classification of all projective classes that cover metrics with exactly one, projective vector field that is essential (as stated above, [25] provides only a description of such classes, not a classification, see Section 2.1 for more details).For the formulation of the main results, we need the following proposition.1 German original [22]: "Es wird verlangt, die Form des Bogenelementes einer jeden Fläche zu bestimmen, deren geodätische Curven eine infinitesimale Transformation gestatten." 2 In the current context, we use Proposition 1 to describe a pair of projectively equivalent metrics that serve as "generators", via Formula (6) below, of their projective class.…”

On differential equations characterized by their Lie point symmetries

“…Then, taking into consideration that dim E = 3, in view of Theorem 5, we conclude that E must have constant Gaussian curvature. In fact, a classical result of projective geometry states that the dimension of the algebra of projective vector fields on a 2-dimensional Riemannian manifold can be 1, 2, 3, or 8, where the maximal dimension is attained just in the case of constant Gaussian curvature (see, for instance, [21,22]). Now let us suppose that E has constant Gaussian curvature.…”

Four-dimensional Kähler metrics admitting c-projective vector fields

“…In [13], Sophus Lie explicitly asked to describe all two-dimensional metrics admitting projective vector fields. Recall that a vector field is projective if its local flow sends unparametrised geodesics to unparametrised geodesics.…”