Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differential-Gleichungen

Abstract

Ueber Complexe, insbesondere Linien-mid Kugcl-Comph,xe, m i t A n w e n d u n g auf die Theorie p~n't.ielh,r l)ifll,rt.nJialGleichtmgen.Vol~ SopuuS lm,~' in ('t~ats'rtANXa. I.Die rasche Entwickelung der Geometrie in tmserem .lahrhumlert ist bekannLlich innig mit philosophischen Betraehtungeu ilber alas Wesen der C a r t e s i s e h e n Geometric verkn{ipft, Betrachtungen. die in ihrer allgemeinsten Form yon Plfieker in seinen et.~t,,n Arbeiten auseinandergesetzt, woMeu sind. li'fir denjenigen, der in den tleisI der Pliicker'sehen Werke elngedrungen ist, wird der Godauke, dass man vine jedc Curve, die yon drei Parametern abhi~ngt, als Raumelement anwenden kann, nichts wesentlieh Neues enihalteu, mtd weun doeh Niomand, soviel ieh weiss, diese hh,e ausgef|lhrt haL, so glaube ieh (lie Ursaehe darin suehen zu milssen, dass ma, dersolb~,n kei/ten praktisehen Werth beigelegt hat. Ieh bin zu ,,ilwm Studium tier genannten Theorie dadureh gef'iihrt worden~ dass ich eine merkwitrdige Transformation entdeckte, die einen genauen Zusammenhang zwischen Krfimmungslinien und Haupttangenten-Curven darlegt~ und es ist meine Absieht~ in der folgenden Abhandung die Resultaie, die ieh in die*or Weise erhalten hab% auseinander zu setzen.Im Im zweiten Abschnitte setze ich voraus, dass die Gleichungen xw t -~-0, ~2 ~ 0 hinsichtlich beider Systeme yon Veriinderlichen linear sind, und zwar untersucho, ieh insbesondere das System:

Finsler Conformal Lichnerowicz-Obata conjecture

“…Our proof is based on the construction of averaged metric in TOME 59 (2009), FASCICULE 3 Section 2, and on the description of conformal vector fields for Riemannian metrics due to [14,15,18,2,23,13,10,9,19].…”

“…n the description of conformal mappings for n = 3 is due to Liouville [15] and for n 3 to Lie [14], for recent expositions cf. for example [5,Thm.…”

Conformal differential geometry of a subspace

“…Riemann spaces conformai to Vm. Let Vm be a real Riemann space whose coordinate manifold is of class(8) Cq and whose real metric tensor, defined over the manifold, is positive definite (9) and of class Cq~l with qW\\.…”

“…We replace the conformai Riemann tensor in these equations by (16. 9) and (16.10) and then simplify using (11.14) and (14. Now if use is made of (12.12), (12.21) and (11.14), we find that If any Uihw) (,-"+1), <r^(''"'_l)(«»+i) occurring in any of the above equations is replaced by another which differs from it by an additive null solution, the equation remains unchanged and the additional tensors due to the presence of the null tensor must vanish.…”

“…When we make use of the ~2 symmetry of {i|W2j these last equations become 9 (28.12) 2 { hh I hh I j} +-[Ghi2 {h I hj} -Ghh{ii\ hj} ] ~ 0.…”