Classification und Integration von gew�hnlichen Differentialgleichungen zwischenxy, die eine Gruppe von Transformationen gestatten

Abstract

Von SoP~us LIE in Leipzig. (Die nachs~ehende Arbei~ erschien zum ers~en Male im Fr~ihling 1883 im norwegisehen Archly.) In einer kurzen Note zur Gesellschaff der Wissenschaf~en in GSt~ingen (3. December 1874) gab ich u. A. eine Aufziihlung aller continuirlichen Gruppen yon Transformationen zwischen zwei Variabeln x und y. Ich lenkte ausdrticklich und stark die Aufmerksamkeit darauf, dass sigh hierauf eine Classification und eine ra~onelle In~egrationstheorie aller Differentialgleichungen f(xy~" ... y(,~) -= o, die eine continuirliche Transformationsgruppe gesfa~en, begriinden liisst. Sparer habe ich nun das hiermit scizzirte grosse Programm mehr im Detail ausgefiihrt. So gab ich in den Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Christiania (1874")) eine rationeUe Methode zur Integration yon linearen par~ellen Differentia]gleichungen mit einer Reihe bekann~er infmitesimaler Transformationen; hiermil hatte ieh dann gleichzeitig eine vollstiindige ]ntegrationstheorie yon gewShnlichen Differ entialgleichungen f(xyy" ... y(r~)) = 0 mit bel~annten intinitesimalen Transformationen erhalten. I ch gab ferner in mehreren Abhandlungen**) in diesem Archiv (1876, 78) eine Dars~ellung yon denjenigen Methoden, vermSge deren ich in den *) Die betreffende Krbeit i~t im Wesentlichen rel)~oducir~ in dan Ma~ Aan. Bd. XL **) Diese Abhandlungen sind theilweise (aber nieh~ vollst~dig) in den Math. Ann~ Bd. Xu in neuer Bearbeitung reproducir~ worden.

Symmetry group classification of ordinary differential equations: Survey of some results

“…One can further annull the a n−2 coefficient in Equation (1) for n 2 via the mappings (2) and (3) with f (x) and g(x) defined in terms of h as f = h −2 , g = h 1−n , where h(x) satisfies the second-order equation…”

“…In particular, the Lie algebraic properties of these equations have attracted considerable attention since the initial seminal works of Lie [1][2][3][4]. One of Lie's profound results was on the complete complex classification of all possible continuous groups acting in the plane.…”

“…Lie [2] presented, among other things, a list of all continuous groups of transformations in the complex plane. He further stressed that this be made the basis of a classification and integration of scalar ordinary differential equations which he implicitly carried out (see also [5]).…”

Geometric Linearization of Ordinary Differential Equations

“…The compatibility of this set of six equations gives the above four linearization conditions (2). The remarkable fact is that the linearization criteria are simply R i jkl = 0!…”

“…(The infinitesimal generators of symmetry form a Lie algebra [3].) He obtained criteria for a second order semi-linear ODE to be such that it could be converted to linear form by point transformations [1,2]. He did not go further to deal with systems of ODEs or third order ODEs.…”