Sei K ein Korper, w eine diskrete Bewertung von K mit dem vollkommenen Restklassenkorper k, D der Ring der w-ganzen Elemente von K . Die Restklassencharakteristik von w bezeichnen wir mit pw . Sei E eine uber K definierte elliptische Kurve. Nach Definition ist E w-regular (oder: E besitzt gute Reduktion modulo w) genau dann, wenn es ein. irreduzibles, reduziertes, flaches, eigentliches Schema E, uber E gibt mit folgenden Eigenschaften : I) Die allgemeine Faser E, x K ist isomorph zu E ; 11) die spezielle Faser E, x k = E ist eine elliptische Kurve uber k. Das Schema E , ist dann ein w-minimales Model1 im Sinne von NBRON [6] und ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Nach DEURINCI ([4], Satz 3) und NBRON ([el, Chap. 111) ist E, die projektive AbschlieBung eines affinen Schemas Spec 0 [z, y] mit .2/2+alz.2/+any=z"+a,x'+n;l,x+uG (a,,all,a:<,a4,aGEO). Der Nullschnitt Spec S: 3 E,, ist der ,,unendlich ferne" Punkt. Wenn K ein Zahlkorper ist, bezeichnen wir im AnschluB an SCHAFARE-WITSCH [lo] als kritische Primdivisoren von E diejenigen Primideale p, fiir die keine gute Reduktion von E modulo wu existiert. Das Hauptziel der Arbeit ist die Beschreibung von einigen Klassen elliptischer Kurven uber Q mit ein oder zwei kritischen Primzahlen und die Untersuchung ihrer arithmetischen Eigenschaften. Die Auswahl dieser Klassen hing naturlich ab von der Schwierigkeit der dabei zu losenden diophantischen Gleichungen. Der Q 3 des vorliegenden ersten Teils und der vorgesehene zweite Teil der Arbeit enthalten in neubegrundeter Form einen Teil meiner Dissertation. Ich mochte nicht versiiumen, hier I. R. SCHAFAREWITSCH (Moskau) meinen herzlichsten Dank auszusprechen, da er mich wiihrend der Anfertigung der Dissertation anleitete. Neumann, Elliptische Kurven 1 2 3 4 5 Die ersten drei Paragraphen sind vorbereitenden lokalen Untersuchungen gewidmet. Danach wird die erhaltene lokale Information auf die Situation im Globalen angewandt. * 2 2 * 2 2 * 2 , 3 8 1. Der Wertevorrat des Fiihrers Die Symbole K, w, k, D, pw sollen die gleiche Bedeutung wie in der Einbitung haben. Mit ,,Kurven" sind im weiteren immer ,,iiber K definierte elliptische Kurven" gemeint. Mit J (w) bezeichne ich wie in [7] die Menge d e r j E K mit der Eigenschaft, daB wenigstens eine w-reguliire Kurve der Invariante j existiert. Unter dem ,,Satz von DEURINQ" verstehen wir folgende Aussage: Sei E eine w-reguliire Kurve. Sei E' eine K-Form von E . Dann ist E' w-reguliir genltu dann, wenn w im Transformationskorper von E, E unverzweigt ist ([4], Satz 4).

In der vorliegenden Note wird eine vereinfachte Herleitung der Resultate von OGG [3] gegeben.Fur jede Primzahl p und eine normale Erweiterung K/Q sei ep die Verzweigungsordnung und fp der Restklassengrad von p in K/Q. Behauptung 1 ([3], Abschnitt 2 , Proposition). Sei K / Q normal vom Grade 3 oder 6 . Wenn ep = 1 oder 2 fur alle p , dann ist die Klassenzahl des Teilkiirpers k, iiber dem K zyklisch vom Grade 3 ist, durch 3 teilbar.Behauptung 2. Sei Gal (K/Q) G G3, 3 zahm-verzweigt ; fur alle p =+= 3 sei ep = 3 oder 1. Dann hut der kubische Teilkiirper die Gestalt Q(7a), a €2, a = +l (mod9).Bewei a. Nach Voraussetzung verzweigt sich im quadratischen Teilkorper Q (vs) nur die 3, also Q (15) = Q (vz). K selbst hat die GestaltDamit K/Q GALorssch mit der Gruppe G3 sei, ist notwendig und hinreichend: das Konjugierte u ' ist = a + 83, p E ~( 1 --3 ) .A U~ a ' = tc -8 3 folgt Norm p = 1, 8 = 7'7-1, a 7'3 E Q, also ohne Beschriinkung der Allgemeinheit a E 2. Die Diskriminante der kubischen Teilkorper von K hat die Form (-3) g2 mit 3 t g, da (v-) in K/Q(1/-3) unverzweigt ist. Der kubische Teilkorper ist Q (y;), wobei in u nur die in K/Q verzweigten Primzahlen auf3er 3 stecken. Die Didaiminante von Q ( f a ) (a nicht durch 3 teilbar) hat genau d a m die Form -3 g', wenn a = -$1 (mod 9) (s. [l], 8 25). Behauptung 3. Sei Gal (K/Q) E 2,/3 2. I n K / Q verzweigen sich Mchstens 3 u d Primzahlen p mit p E 1 (mod 3 ) . Beweis. Wenn p =# 3, d a m mu13 pfp -1 durch ep teilbar sein. Die Mog-8 3 -lichkeit p = 2 (mod 3)) ep = 3 wird dadurch ausgeschlossen. 25.

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EinleitungI n der Note [22] wurde damit begonnen, Klassen von elliptischen Kurven iiber Q mit einer oder zwei kritischen (,,schlechten") Primzahlen anzugeben. Dieses Programm wird hier fortgefuhrt. Das Hauptergebnis der vorliegenden Note besteht in der vollstandigen Aufzahlung der elliptischen Kurven mit einer definierenden Gleichung der Form) und mit einer einzigen kritischen Primzahl ( 0 7). Dabei spielen die Primzahlen der Form c* + 64 eine Rolle. Man kann ubrigens zeigen, daB der Rang der auftretenden Kurven hochstens Eins betragt. Die Aufgabenstellung lafit sich durch folgende Uberlegungen auf andere Fragen zuruckfiihren. Es geniigt, sich mit solchen Kurven zu beschaftigen, die unter ihren Formen dadurch ausgezeichnet sind, daB sie die kleinstmogliche Menge voii kritischen Primzahlen besitzen (RM-Kurven im Sinne von [22], Q 4). Die RM-Kurven sind bis auf triviale Transformationen durch den Wert ihrer absoluten Invariante j festgelegt. Umgekehrt existiert zu jedem j-Wert eine RM-Kurve ([22], Satz 4.2). Es genugt also, die in Frage kommendenj-Werte zii bestimmen. Zu diesem Zweck ziehen wir die arithmetischen Eigenschaft,en der Korper der Modulfunktionen m-ter Stufe heran. Die Grundlage dieser Uberlegungen ist folgende Verallgemeinerung eines in [7], Q 3, ausgesprochenen Sachverhalts. Behauptung. Seien k, w, p , beziehungsweise ein Korper, eine diskrete Bewertung von k mit vollkommenem Restklassenkorper und die Charakteristik des Restklassenkorpers von w. Sei j E k, j + 0 , 123; pw =+ 2. Dann haben wir die Gleichwertigkeit folgender Aussagen: a) Es gibt eine elliptische Kurve E mit guter Reduktion modulo w und j ( E ) = j ( d . h. j E J ( w ) ) ;