Die elliptischen Kurven mit den Führern 3.2^m und 9.2^m

Abstract

In der vorliegenden Note wird eine vereinfachte Herleitung der Resultate von OGG [3] gegeben.Fur jede Primzahl p und eine normale Erweiterung K/Q sei ep die Verzweigungsordnung und fp der Restklassengrad von p in K/Q. Behauptung 1 ([3], Abschnitt 2 , Proposition). Sei K / Q normal vom Grade 3 oder 6 . Wenn ep = 1 oder 2 fur alle p , dann ist die Klassenzahl des Teilkiirpers k, iiber dem K zyklisch vom Grade 3 ist, durch 3 teilbar.Behauptung 2. Sei Gal (K/Q) G G3, 3 zahm-verzweigt ; fur alle p =+= 3 sei ep = 3 oder 1. Dann hut der kubische Teilkiirper die Gestalt Q(7a), a €2, a = +l (mod9).Bewei a. Nach Voraussetzung verzweigt sich im quadratischen Teilkorper Q (vs) nur die 3, also Q (15) = Q (vz). K selbst hat die GestaltDamit K/Q GALorssch mit der Gruppe G3 sei, ist notwendig und hinreichend: das Konjugierte u ' ist = a + 83, p E ~( 1 --3 ) .A U~ a ' = tc -8 3 folgt Norm p = 1, 8 = 7'7-1, a 7'3 E Q, also ohne Beschriinkung der Allgemeinheit a E 2. Die Diskriminante der kubischen Teilkorper von K hat die Form (-3) g2 mit 3 t g, da (v-) in K/Q(1/-3) unverzweigt ist. Der kubische Teilkorper ist Q (y;), wobei in u nur die in K/Q verzweigten Primzahlen auf3er 3 stecken. Die Didaiminante von Q ( f a ) (a nicht durch 3 teilbar) hat genau d a m die Form -3 g', wenn a = -$1 (mod 9) (s. [l], 8 25). Behauptung 3. Sei Gal (K/Q) E 2,/3 2. I n K / Q verzweigen sich Mchstens 3 u d Primzahlen p mit p E 1 (mod 3 ) . Beweis. Wenn p =# 3, d a m mu13 pfp -1 durch ep teilbar sein. Die Mog-8 3 -lichkeit p = 2 (mod 3)) ep = 3 wird dadurch ausgeschlossen. 25.

On the conductor of an elliptic curve with a rational point of order 2

“…For p = 3, Ogg [6] has found all the curves of conductor 2V = 3 2 m and 9 2 m by showing that they have a rational point of order 2 (cf. [4]), and Coghlan has found in his thesis all the curves of conductor N = 2 m 3 n . For example, if N -2 m 5 in our case, then 2 <^ m <; 7 and there are 56 curves with a rational point of order 2.…”

“…The only non-zero integral solutions of the equations below for a given odd prime p are as follows: 1) // X 2 -1 = 2V, then (|X|, 2ψ) = (2,3), (3,2 3 ), (5,2 3 3), (7,2 4 3), (9,2*5),…”

“…- (1,4), (1,2),(1,1),(1, -1) /or p = 3, (1,4), (1,1) /or p = 5, and ^ere is no solution for p Φ 3, 5. 7) // X 2 -64 = p% then (|X|,p a ) -(9,17).…”

“…Let C be an elliptic curve (an abelian variety of dimension one) defined over the field Q of rational numbers. A minimal Weierstrass model for C at all primes p in the sense of Neron [3] is given by a plane cubic equation of the form y 2 + a λ xy + a 3 y + x z + a 2 x 2 + a 4 x + a Q -0 , (1.1) where α^ belongs to the ring Z of integers of Q, the zero of C being the point of infinity. Following Weil, we define the conductor N of C by all p…”

Elliptic curves of conductor 11

“…As remarked above, the determination of all elliptic curves with given conductor can be reduced to a problem on solving diophantine equations. Various authors (Ogg [23], [25], Coghlan, Neumann [20], [19], [21]) have dealt with the cases TV = 2a3* and other cases involving only small primes by showing that the elliptic curves possess rational points of small order. Setzer [29], and .Neumann [21], [22] deal with many cases of prime conductor by showing that for p =£ 2, 3, 17 there is an elliptic curve conductor p defined over Q with a rational point of order 2 if and only if p = «2 + 64 for some integer «.…”