Sei k ein endlicher algebraischer Zahlkorper, d eine uber k definierte elliptische Kurve. Besitzt A wenigstens einen uber k definierten Punkt 0, so kann auf A eine abeldche Gruppenstruktur definiert werden, wobei o die Rolle des Nullelements uberiiimmt. d wird zu einer iiber k definierten eindimensionalen abelschen Mannigfaltigkeit, und man erhalt umgekehrt alle auf diese Weise. Zur Abkurzung wollen wir d als abelsclze Kurve bezeichnen. Fur jeden Oberkorper K von k sei .-Z(K) die Gruppe der uber K definierten (kurz: K-ratiotzaletz) Punkte von CR sowie K eine algebraische AbschlieBung von K . Das Ziel dieser Arbeit besteht in dem Nachweis, dalj die Ordnungen der

Uath. Sachr. 1% (1988)Proposition 2.1. l b r ( I Proof. By the identity of P. HALL and PETRESCU,1-1 i where u f -1 (mod I), ai = [w, x, z3, ..., 241, ziE (z, a), such thitt 21 = w for at least one index i (cf. [12], Kap. 111, 9.4, 9.5). I n our case C,,c V , S S~~S Z , vrc[V, V ] . This proves the proposition. Proposition 2.2. For uny norrnul sm5grmip V Z G of index 1 w e hrrae KI+l(G) s V'/ V , V ] .Proof. We hove G=(z, V ) for a, certain z 6 G with z1E V . Thus, it follows that ( 2 . 3 )Moreover, since [G, G I s V , from ( 2 . 2 ) we get

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A besitze keinen Q-rationalen Punkt der (genauen) Ordnung 2 und habe den Fuhrer f (A) = p . ( V )