From Reciprocity Laws to Ideal Numbers: An (Un)Known Manuscript by E.E. Kummer

Jacobi and Kummer’s ideal numbers

“…Indeed, Edwards [11][12][13], Neumann [33] and Bölling [4] have shown that Kummer's first article on cyclotomy dealt with the factorization of primes λm + 1 in the rings Z[α] of λ-th roots of unity, and that his (false) result implied unique factorization in Z[α].…”

“…4 Jacobi's principal technique for studying Gauss and Jacobi sums were certain substitutions, whose key role in the era before Kummer's ideal numbers was emphasized by Frobenius [34, p. 117-118]: Als Cauchy, Jacobi und Kummer angefangen hatten, die Untersuchungen von Gauss über complexe Zahlen auf allgemeinere aus Einheitswurzeln gebildete algebraische Zahlen auszudehnen, ergab sich das unerwünschte Resultat, daß in diesem Gebiete zwei Zahlen nicht immer einen größten gemeinsamen Divisor besitzen, und daß Producte unzerlegbarer Factoren einander gleich sein können, ohne daß die Factoren einzeln übereinstimmen. Die Gleichheit solcher Producte konnte man daher immer nur durch besondere Kunstgriffe beweisen, zu denen namentlich der gehörte, durch Substitution gewisser rationalen Zahlen für die algebraischen die untersuchten Gleichungen in Congruenzen zu verwandeln.…”

“…Dr. Eisenstein im 27ten Bande des Crelleschen Journals auf S. 53 publicirt worden. 4 Whether Eisenstein really had seen Jacobi's lecture notes prior to 1846 is open to debate; most (if not all) historians of mathematics seem to agree that Eisenstein developed his proofs of quadratic, cubic and quartic reciprocity laws independently from Jacobi. Later, both Kummer and Eisenstein employed (without attribution) some form of p-adic development of the logarithm, which first appeared in Jacobi's lectures.…”

Die eindeutige Primfaktorzerlegung

“…Circa hanc resolutionem theorema se offert, unico tantum modo eam fieri posset, quod theorema obiter quidem consideratum per se manifestum videri posset, sed utique demonstratione eget. 2 Gauss war sich im Gegensatz zu anderen offenbar durchaus im klaren darüber, dass die Eindeutigkeit der Zerlegung nicht selbstverständlich ist. Wie wir oben bereits bemerkt haben, hat er auch für (…”

“…Er stützte sich dabei auf Dokumente, die entweder vorher nicht bekannt waren oder vorher nicht in diesem Zusammenhang interpretiert wurden. In der Folge haben Olaf Neumann (siehe [22][23][24][25]), Reinhard Bölling (siehe [1,2]) und Franz Lemmermeyer (siehe [21]) die Auffassungen Edwards im wesentlichen bestätigt; in einigen Teilen haben sie aber auch wichtige Korrekturen anbringen können.…”