Jacobi and Kummer’s ideal numbers

Abstract

In this article we give a modern interpretation of Kummer's ideal numbers and show how they developed from Jacobi's work on cyclotomy, in particular the methods for studying "Jacobi sums" which he presented in his lectures on number theory and cyclotomy in the winter semester 1836/37.

Die eindeutige Primfaktorzerlegung

“…Seine Theorie wurde in den Supplementen der zweiten Auflage von 1871 der Vorlesungenüber Zahlentheorie von Dirichlet erstmals veröffentlicht. 21 Darin sind zwei wesentliche Neuerungen eingeführt: Zum einen ersetzt Dedekind in seinen Betrachtungen die Kummerschen idealen Zahlen durch Ideale. Zum zweiten erkannte er -wohl als erster -die wesentliche Rolle, welche den ganz algebraischen Zahlen in dieser Frage zukommt.…”

“…Er stützte sich dabei auf Dokumente, die entweder vorher nicht bekannt waren oder vorher nicht in diesem Zusammenhang interpretiert wurden. In der Folge haben Olaf Neumann (siehe [22][23][24][25]), Reinhard Bölling (siehe [1,2]) und Franz Lemmermeyer (siehe [21]) die Auffassungen Edwards im wesentlichen bestätigt; in einigen Teilen haben sie aber auch wichtige Korrekturen anbringen können.…”

“…Wäre sie gültig, so wäre diese ganze Theorie, die so grosse Schwierigkeiten verursacht, leicht durchzuführen und zu einem Ende zu bringen 20. Analoges liesse sich auch von der Einführung von unendlich fernen geometrischen Objekten in der projektiven Geometrie sagen 21. In den nachfolgenden Auflagen der Dirichlet's Vorlesungenüber Zahlentheorie von 1879 und 1894 hat Dedekind seine Theorie weiter entwickelt.…”

“…-Siehe dazu auch das Büchlein von Richard Dedekind: Sur la théorie des nombres entiers algébriques, 1877; darin geht Dedekind auf die Schwierigkeiten, die bei quadratischen Körpern auftreten, in detaillierter Weise ein 22. Siehe dazu aber die neueren Untersuchungen von Franz Lemmermeyer[21]. Lemmermeyer weist in diesem interessanten Artikel u. a. auf bisher wenig beachtete Spuren hin, welche in Arbeiten (und Vor-…”

Jacobi als Wegbereiter für Kummers Idee der idealen Zahlen

“…Die λ−1 Homomorphismen φ f(α) Kummers sind die λ − 1 Homomorphismen Jacobis (mehr dazu in [14]). Jacobi drückt damit nichts anderes aus, als dass durch die Zuordnung r → g mod p ein Ringhomomorphismus Z[r] → Z/pZ induziert wird (allgemeiner verwendet er auch für nicht primitive (p − 1)te Einheitswurzeln α = r m die durch α → g m mod p induzierten Ringhomomorphismen Z[α] → Z/pZ, wie sie bei Kummer auftreten (λ ist ein Teiler von p−1)).…”