1. Es sei G ein uniformer Raum und ~ eine kompakte Selbstabbildung yon G. Mit einfachen Begriffen aus der analytisehen Topologie ergibt sich, dal3 ffir die Abbfldung ~ ein Fixpunkt existiert, wenn sie sieh gleichm~Big dureh Selbstabbildungen yon G, die einen Fixpunkt besitzen, approximieren l~iBt. Ausgehend yon diesem Saehverhalt gelangt man mfihelos zu weiteren neuen Fixpunktaussagen (in uniformen R~umen und speziell in topologischen Vektorr~umen) und zu bekannten Fixpunkts~tzen der Funktionalanalysis. Man erkennt aueh, dal3 diverse Fixpunkts~tze, die bisher nur ffir lokalkonvexe R~ume (z. T. sogar nur ffir normierte R~ume) bekannt sind, mutatis mutandis in beliebigen topologisehen Vektorr~umen gelten. Hilfsmittel aus der LeraySehauder-Theorie oder irgendwelehe Homotopie-oder Homologieargumente werden in den ersten vier Abschnitten der vorHegenden kurzen Note nieht benStigt. Kombiniert man die erhaltenen Resultate mit gewissen topologischen S~tzen (Einbettungss~tze, S~tze fiber absolute Retrakte, fiber Erweiterungsr~ume u. ~.), so ergeben sich relativ leicht weitere Fixpunkts~tze, wie an zwei Beispielen im letzten Abschnitt der Note gezeigt wird.2. Sind A und B (separierte) topologisehe R~ume, so heiBt eine stetige Abbfldung ¢ yon A in B bekanntlich kompakt, wenn ¢ (A) eine relativ kompakte Teilmenge yon B ist.
Satz 1. Es sei G ein (separlerter) unl/ormer Raum (mit der uni/orme~ Stru]dur Z) und q~ eine kompakte Selbstabbildung yon G. Ist zu ~eder Nac, hbar. scha/t V E X eine Selbstabbildung h yon (7 vorhanden, die einen Fixpun~ b~itzt und der Beziehung (¢x, hx) E V (x E G) geniigt, so hat ~ ein~n Fixpun~.Beweis. Zu jedem V E ~7 gibt es naeh Voraussetzung eine Abbfldung h: G-~G mit einem Fixpunkt, ffir die (q~x, hx)E V(xE G) gilt. Es gibt also ein x' E q mit (q~x', x') E V. Somit existiert eine Moore-Smith-Folge (x~)ve x yon Elementen aus G (der Filter X ist dutch D gerichtet) mit (~xv, xv) E U (U E ~). Ersichtlieh hat die Moore-Smith-Folge (~x~)v~x einen Berfihrungspnnl~t z. Im System A aller Paare (U, W)E Z × Z, ffir die (z, Cxu) E W ~lt, bedeute (U 1, W1) < (Ui, Wg) die Relation ,,U1D Usund W1D Ws". A ist dutch gerichtet. Fiir jedes ~ = (U, W)E A setzen wir u~--~x~ und w~: x m Die Moore-Smith-Folge (u~)~ ist dann gegen z konvergent. EbenfaUs kon. vergier¢ gegen z die Moore-Smith-Folge der w v wie man aus den fiir jedes --(U, W) E A gfiltigen Beziehungen (z, u~) E W, (u v w~) E U erkennt. Wegen der Stetigkeit yon ~ gilt daher ~w~--u~-~ ~z und somit ~z = z. Q.e.d.