Pseudonormen in der Theorie der linearen topologischen Räume

Necessary convexity conditions for the Hahn-Banach theorem in metrizable spaces

“…In this connection, let us mention that a metrizable space is known to be locally convex as soon as every weakly bounded subset is bounded [6].…”

“…(In fact, for this conclusion, it suffices that τ is locally convex; cf. [6].) So the question is, essentially: Can anything in that direction be said also in the general case, with no assumptions of local convexity?…”

Lineare beschr�nkte Abbildungen von einem Produkt in einen lokal radial beschr�nkten Raum und ihre Filter

“…Wir wollen eine positiv definite Pseudonorm p auf einem Vektorraum G eine (a~R, xEG) [12], S. 31; s. auch [7], S. 28/29), das speziell fiir lokalbeschr~nkte R~ume schon yon HYERS [8], S. 566, gestellt und von BOUROIN [4], S. 653, erledigt worden war. Das Kleesche Ergebnis stiitzt sich auf einen bedeutsamen (schon yon BovRo~ [4], S. 653, herangezogenen) Satz yon EIDELHEIT und MAZUR [6], nach welchem sich die Topologie eines metrisierbaren topologischen Vektorraumes F stets durch eine translationsinvariante Metrik d erzeugen l~i~t, fiir die aus 0 ~ s < t und x ~ F \ {oF} immer d (sx, oF) < d(tx, oF) folgt.…”

“…Die Nullumgebung Un= {x E F: d(x, OF) ~ 1/n} besitzt dann als Distanzfunktion eine in ganz F stetige Pseudonorm Pn. Das folgt aus einem Satz yon IVES [9], S. 33 (s. auch KLnE [10], S. 282) oder auch aus einem Kriterium von LANDSBERO [12], S. 32. Die in ganz F stetigen Pseudonormen Pn (n--1, 2,...) definieren die Topologie von F. Ist allgemeiner F das topologische Produkt von metrisierbaren topologischen Vektorr~umen Fk (k E K), so l~Bt sich nach dem vorigen die Topologie yon jedem F, dureh eine Folge Pkl, Pk,, -.-von in ganz Fk stetigen Pseudonormen erzeugen.…”