�ber die Fixpunkte kompakter Abbildungen

Abstract

1. Es sei G ein uniformer Raum und ~ eine kompakte Selbstabbildung yon G. Mit einfachen Begriffen aus der analytisehen Topologie ergibt sich, dal3 ffir die Abbfldung ~ ein Fixpunkt existiert, wenn sie sieh gleichm~Big dureh Selbstabbildungen yon G, die einen Fixpunkt besitzen, approximieren l~iBt. Ausgehend yon diesem Saehverhalt gelangt man mfihelos zu weiteren neuen Fixpunktaussagen (in uniformen R~umen und speziell in topologischen Vektorr~umen) und zu bekannten Fixpunkts~tzen der Funktionalanalysis. Man erkennt aueh, dal3 diverse Fixpunkts~tze, die bisher nur ffir lokalkonvexe R~ume (z. T. sogar nur ffir normierte R~ume) bekannt sind, mutatis mutandis in beliebigen topologisehen Vektorr~umen gelten. Hilfsmittel aus der LeraySehauder-Theorie oder irgendwelehe Homotopie-oder Homologieargumente werden in den ersten vier Abschnitten der vorHegenden kurzen Note nieht benStigt. Kombiniert man die erhaltenen Resultate mit gewissen topologischen S~tzen (Einbettungss~tze, S~tze fiber absolute Retrakte, fiber Erweiterungsr~ume u. ~.), so ergeben sich relativ leicht weitere Fixpunkts~tze, wie an zwei Beispielen im letzten Abschnitt der Note gezeigt wird.2. Sind A und B (separierte) topologisehe R~ume, so heiBt eine stetige Abbfldung ¢ yon A in B bekanntlich kompakt, wenn ¢ (A) eine relativ kompakte Teilmenge yon B ist. Satz 1. Es sei G ein (separlerter) unl/ormer Raum (mit der uni/orme~ Stru]dur Z) und q~ eine kompakte Selbstabbildung yon G. Ist zu ~eder Nac, hbar. scha/t V E X eine Selbstabbildung h yon (7 vorhanden, die einen Fixpun~ b~itzt und der Beziehung (¢x, hx) E V (x E G) geniigt, so hat ~ ein~n Fixpun~.Beweis. Zu jedem V E ~7 gibt es naeh Voraussetzung eine Abbfldung h: G-~G mit einem Fixpunkt, ffir die (q~x, hx)E V(xE G) gilt. Es gibt also ein x' E q mit (q~x', x') E V. Somit existiert eine Moore-Smith-Folge (x~)ve x yon Elementen aus G (der Filter X ist dutch D gerichtet) mit (~xv, xv) E U (U E ~). Ersichtlieh hat die Moore-Smith-Folge (~x~)v~x einen Berfihrungspnnl~t z. Im System A aller Paare (U, W)E Z × Z, ffir die (z, Cxu) E W ~lt, bedeute (U 1, W1) < (Ui, Wg) die Relation ,,U1D Usund W1D Ws". A ist dutch gerichtet. Fiir jedes ~ = (U, W)E A setzen wir u~--~x~ und w~: x m Die Moore-Smith-Folge (u~)~ ist dann gegen z konvergent. EbenfaUs kon. vergier¢ gegen z die Moore-Smith-Folge der w v wie man aus den fiir jedes --(U, W) E A gfiltigen Beziehungen (z, u~) E W, (u v w~) E U erkennt. Wegen der Stetigkeit yon ~ gilt daher ~w~--u~-~ ~z und somit ~z = z. Q.e.d.

Zur Theorie kompakter Vektorfelder in topologischen Vektorräumen

“…B. [17], [18] [12]) und der Einfuhrung einer Homotopieerweiterungstheorie fur mengenwertige kompakte Vektorfelder in lokalkonvexen (nicht notwendig vollstandigen metrisierbaren) TVR, die T. M A [20] vornahm. Im Unterschied ZII Granas untersuchen wir in unserer Arheit -ahnlich wie bei T. MA [20] -nicht unwesentliche Vektorfelder, sondern solche, die sich gleichmaI3ig durch unwesentliche finite Vektorfelder approximieren lassen.…”

Zum Abbildungsgrad in Hausdorffschen Topologischen Vektorr�umen

“…Der folgende Satz wurde yon Landsberg [2] fur einfachberandete Umgebungen bewlesen: Der folgende Satz wurde yon Landsberg [2] fur einfachberandete Umgebungen bewlesen:…”

Existenzsätze für Halbeigenwerte kompakter Abbildungen in topologischen Vektorräumen

“…Der umfangreiche Beweis der eben genannten Satze geht auf eine Xethode von M. LANDSBERG und TH. RIEDRICH zuriick, die zur Verallgemeinerung von Existenzsatzen fur Fixpunkte und Eigenwerte entwickelt wurde (s. [12], [14], [19], [ Z O ] ) . Zunachst wird der Satz von BACHTIN fur endlichdiniensionale topologische Vektorrilume unter Verwendung der von A. GRANAS und V. KLEE fiir kompakte Vektorfelder behandelten Homotopie-Beziehungen bewiesen ( 8 . Satz l), die frei von konibinatorischtopologischen Hilfsmitteln sind.…”