RésuméNous proposons une approche analytique de la théorie de Galois des systèmes aux q-différences linéaires singuliers réguliers. Nous combinons la dualité de Tannaka avec la méthode de classification de Birkhoffà l'aide de la matrice de connexion pour définir et décrire leurs groupes de Galois. Puis nous décrivons des sous-groupes fondamentaux qui donnent lieuà une correspondance de Riemann-Hilbert età un théorème de densité de type Schlesinger. AbstractWe propose an analytical approach to the Galois theory of singular regular linear q-difference systems. We use Tannaka duality along with Birkhoff's classification scheme with the connection matrix to define and describe their Galois groups. Then we describe fundamental subgroups that give rise to a Riemann-Hilbert correspondence and to a density theorem of Schlesinger's type.

Nous décrivons des algorithmes explicites pour la factorisation d'opérateurs et la résolution d'équations aux q-différences. Il s'agit d'une présentation "concrète" de résultats bien connus.

Nous montrons que le polygone de Newton d'une équation aux q-différences linéaire ne dépend que du module aux q-différences correspondant. Nous interprétons les classiques résultats de factorisation convergente de Adams-Birkhoff-Guenther en termes d'existence d'une filtration canonique par les pentes. De plus, le gradué associé possède d'excellentes propriétés fonctorielles (d'où son interêt pour la classification) et tensorielles (d'où son interêt pour la théorie de Galois).

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