Systèmes aux $q$-différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion et monodromie

Abstract

Nous décrivons des algorithmes explicites pour la factorisation d'opérateurs et la résolution d'équations aux q-différences. Il s'agit d'une présentation "concrète" de résultats bien connus.

Confluence q-différence vers différence pour un système Fuchsien

“…Pour un opérateur aux q-différences J. Sauloy a remarqué qu'ilétait possible d'utiliser des fonctions méromorphes dans C * , donc sans monodromie. Nous reprenons cette idée pour leséquations aux différences et indiquons au paragraphe 2 comment résoudre un système ( ) de matrice constante en utilisant des fonctions méromorphes dans C, définiesà partir de la fonction Γ et qui sont limites lorsque q → 1 de celles utilisées dans [7].…”

“…Suivant [7], la solution méromorphe dans C * , obtenue "en partant de l'infini", est g α (t)p(t) où ( [7] p. 1060)…”

“…On indique maintenant comment choisir un système q-déformé d'un système ( ) non résonnant. Cetté etude est faite dans le plan de la variable t = (q − 1)x + 1 où le système aux q-différences obtenu est du typeétudié dans [7]. Nous aurons cependant besoin de reprendre en partie les résultats classiques de façonà pouvoir traiter la confluenceà l'aide des théorèmes de [1].…”

“…ε → 0) et que ce phénomène se traduit au niveau des solutions. Cette confluence, etudiée de longue date, aété reprise récemment dans le cas des q-différences par J. Sauloy qui en propose une théorie précise et complète dans [7]. L'étude parallèle du cas différence n'est pas faite et semble plus difficile.…”

“…Il s'agit dans les deux cas d'uneéquation fonctionnelle construiteà partir d'une homographie,à deux points fixes dans le premier cas, un seul dans le second cas. Dans [1] nous abordions, dans l'esprit de [7], le cas régulier. Nous y montrions comment on peut voir le classique théorème d'existence et d'unicité d'un système fondamental de solutions dé-veloppables en séries de factorielles convergentes età valeur prescrite en +∞ comme limite, lorsque le paramètre réel q tend vers 1 + , de résultats analogues pour un système aux q-différences qui en est une déformation convenable.…”