The space of monodromy data for the Jimbo–Sakai family ofq-difference equations

Abstract

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On a class of q -orthogonal polynomials and the q -Riemann–Hilbert problem

“…More recently, the application of Galois theory has been used to derive an analytic approach to singular regular linear q-difference systems [32]. Isomonodromy conditions have led to RHPs corresponding to q-difference Painlevé equations q-P IV [33] and q-P VI [34].…”

Théorie analytique locale des équations aux $q$-différences de pentes arbitraires

“…Le problème posé ici est celui de la classification par des « invariants transcendants » selon les termes de Birkhoff dans l'article fondateur [3]. Pour les équations différentielles fuchsiennes, l'objet classifiant est la représentation de monodromie, dont le rôle pour les équations aux q-différences est tenu, pour l'essentiel, par la matrice de connexion de Birkhoff [3,19,13]. Pour les équations différentielles irrégulières, les invariants locaux sont (outre la monodromie locale) les opérateurs de Stokes, le modèle est celui du théorème de Birkhoff-Malgrange-Sibuya, qui a été transposé au cas des q-différences dans [15] sous l'hypothèse que les pentes sont entières.…”

“…La structure affine de F (A 0 ) = F (M 0 ) (théorème 1) a été décrite dans [15]. Dans ce même travail, il est affirmé sans justification suffisante 13 que les suites exactes de cohomologie (non abélienne) permettent de munir H 1 (E q , Λ I (A 0 )) d'une structure affine telle que les bijections du théorème 3 soient des isomorphismes affines (cf. [15, cor.…”

“…Or, les seuls points fixes de S par la q-dilatation z → qz sont 0 et ∞, et l'étude en ∞ se ramène facilement à celle en 0 par le changement de variable w = 1/z. En ce qui concerne les « singularités intermédiaires », c'est-à-dire dans C * = S \ {0, ∞}, nous ne disposons pas encore d'une approche cohérente pour les étudier localement ; voir par exemple des tentatives en ce sens dans [17,18,13].…”

“…La théorie pour le cas où 0 < |q| < 1 est essentiellement la même, mais le cas où |q| = 1 présente de tout autres difficultés (« petits diviseurs »), voir[8] 2. La théorie analytique globale, initiée par Birkhoff dans[3] (mais pour le cas fuchsien seulement) tourne autour de deux thèmes : groupe de Galois et correspondance de Riemann-Hilbert ; voir par exemple[11,24,20,17,13].…”