Problèmes de modules pour des équations différentielles non linéaires du premier ordre Publications mathématiques de l'I.H.É.S., tome 55 (1982), p. 63-164 © Publications mathématiques de l'I.H.É.S., 1982, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Publications mathématiques de l'I.H.É.S. » (http:// www.ihes.fr/IHES/Publications/Publications.html) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 65 66 JEAN MARTINET ET JEAN-PIERRE RAMIS « coordonnée de base » x. Le difféomorphisme G a en général un comportement très « sauvage » au voisinage de la feuille « verticale » {x = o}, dû à la singularité essentielle des solutions de (3) en o. Cependant, soit par exemple g{c) == c + a [a e C) ; alors g{x,y)-==y + a exp(-i fx), et G : V 4 ' X C-> V 4 " x C (où V 4 ' est un secteur fermé de Cç, de sommet o, contenu dans {Re^>o}) est un difféomorphisme infiniment tangent à l'identité le long de {0} X C. De même si g : (C, o)->-(C, o) est un difféomorphisme local analytique tangent d'ordre un à l'identité {ge^) on vérifie aisément que G est défini au voisinage de {o}xC dans V~~ X C (où V~C{ReA:o} (resp. {Re^o} et V-C{ReA:

An inconvenience of all the known galoisian formulations of Ziglin's non-integrability theory is the Fuchsian condition at the singular points of the variational equations. We avoid this restriction. Moreover we prove that a necessary condition for meromorphic complete integrability (in Liouville sense) is that the identity component of the Galois group of the variational equation (in the complex domain) must be abelian. We test the efficacy of these new approaches on some examples. We will give some non academic applications in two following papers.

Given a complex analytical Hamiltonian system, we prove that a necessary condition for meromorphic complete integrability is that the identity component of the Galois group of each variational equation of arbitrary order along each integral curve must be commutative. This was conjectured by the first author based on a suggestion made by the third author due to numerical and analytical evidences concerning higher order variational equations. This non-integrability criterion extends to higher orders a non-integrability criterion (Morales-Ramis criterion), using only the first order variational equation, obtained by the first and the second author. Using our result (at order two, three or higher) it is possible to solve important open problems of integrability which escaped to Morales-Ramis criterion.

No abstract