Problèmes De Modules Pour Des Équations Différentielles Non Linéaires Du Premier Ordre

Abstract

Problèmes de modules pour des équations différentielles non linéaires du premier ordre Publications mathématiques de l'I.H.É.S., tome 55 (1982), p. 63-164 <http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1982__55__63_0> © Publications mathématiques de l'I.H.É.S., 1982, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Publications mathématiques de l'I.H.É.S. » (http:// www.ihes.fr/IHES/Publications/Publications.html) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 65 66 JEAN MARTINET ET JEAN-PIERRE RAMIS « coordonnée de base » x. Le difféomorphisme G a en général un comportement très « sauvage » au voisinage de la feuille « verticale » {x = o}, dû à la singularité essentielle des solutions de (3) en o. Cependant, soit par exemple g{c) == c + a [a e C) ; alors g{x,y)-==y + a exp(-i fx), et G : V 4 ' X C-> V 4 " x C (où V 4 ' est un secteur fermé de Cç, de sommet o, contenu dans {Re^>o}) est un difféomorphisme infiniment tangent à l'identité le long de {0} X C. De même si g : (C, o)->-(C, o) est un difféomorphisme local analytique tangent d'ordre un à l'identité {ge^) on vérifie aisément que G est défini au voisinage de {o}xC dans V~~ X C (où V~C{ReA:<o} est un secteur fermé de sommet o) et infiniment tangent à l'identité de C 2 le long de {o}x C. Seules les transformations g que nous venons de décrire (translations et éléments de e^7) ont la vertu de donner naissance à des transformations G asymptotes à l'identité de C 2 au-dessus d'un secteur V de Cg; les transformations G laissant invariante l'équation o)i o « sur » V X C, nous les appellerons « transformations sectorielles isotropes » de (o^ o. Nous les considérerons comme sections d'un faisceau A^ o sur S 1 (S 1 est le cercle unité du plan des x, ses ouverts connexes définissant les secteurs aux rayons près) ; ce faisceau est constant sur le demi-cercle {ReA:>o} (resp. {Re^<o}) et isomorphe à C (resp. J^) ; sa fibre aux deux « pôles » x == ± i de S 1 est réduite à l'identité. Ainsi H^S^AI^^CXJ^. Soit (Uo, Ui) un recouvrement ouvert de Cç par deux secteurs fermés tels que UonU^V-^uV-où V + C{Re^>o} et V-C{ReA:<o}. Soit (^^eCx^f; recollons les germes des produits Uo X C et U\ x C via G + et G"; on obtient un objet feuilleté (puisque G + et G~ préservent le feuilletage défini par (QI o == °) ? ^a platitude de G^ et G~ vis-à-vis de l'identité permet de montrer, grâce au théorème d'intégrabilité de Newlander-Nirenberg sur les structures presque complexes, que cet objet « est » le germe de C 2 en o pourvu d'un germe d'équation différentielle holomorphe singulière du type (2) ; cette équation est par construction formellement équivalente (mais en général non analytiquement équivalente) à co^ o == o. Des valeurs différentes do...

Normalizable, integrable and linearizable saddle points in the lotka-volterra system

“…Hence, ψ 0 = 0, ψ 1 = exp(−2πia), ψ 2 may be an arbitrary function. Summarizing, we get 13) and ψ 0 is an arbitrary holomorphic function with the above restriction. Roughly speaking, the function ψ 0 is the second component of the Martinet-Ramis modulus.…”

“…We recall the definition of the Martinet-Ramis modulus of analytic classification of a saddle-node (see for instance [13]). A saddle-node is formally orbitally equivalent by means of a transformation (x, y) → (z, w) to a polynomial normal forṁ…”

“…The sectorial normalization theorem (proved in [7] and presented in [13], [8]) claims that germs (2.6) and (2.5) are analytically equivalent in some sector-like domains. These domains are described as follows.…”

“…Theorem 2.4 (see [7], [13], [8]) Any germ (2.6) is analytically equivalent in a sector S j (with r small) to (2.5). Moreover, the normalizing map H j :S j → C 2 has the following properties:…”

“…2. More precisely, suppose that for = 0 the normalizing change of coordinates has the form y = Y + k≥2 g k (x)Y k , with g k (x) analytic for k < q and g q (x) the sum of a divergent Borel-summable series (see for instance [13] for a definition), then ∃N 1 ∈ N such that ∀n > N 1 , if is such that the saddle point located at (− √ , 0) has hyperbolicity ratio q−1 n , then this saddle point is not integrable. Proof.…”