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resumenEl cálculo proposicional se basa proposiciones que son tautologías, antilogías y de tipo contingente, construidas con las operaciones de disyunción, conjunción, y negación, así como con el llamado condicional material para trasladar los enunciados condicionales. Con todo ello se obtiene una estructura de álgebra de Boole, que permite equiparar el cálculo proposicional al cálculo algebraico booleano. En parte, la simplificación conceptual que se obtiene resulta de ser el orden parcial del álgebra equivalente a la afirmación del condicional material. Además, con tal metodología cabe ver qué partes del cálculo proposicional clásico pueden trasladarse, aun con limitaciones, a estructuras más débiles y, a la vez, más generales, como son los ortoretículos no booleanos o las álgebras de De Morgan.El cálculo proposicional trata con la deducción. Por ello, el artículo lo desarrolla a partir de un operador de consecuencias en el sentido de Tarski. Ampliado el modelo deductivo, es fácil ver otras consecuencias que las usualmente consideradas en los textos elementales; en particular, se analizan cuatro esquemas de razonamiento deductivo típicos y, entre ellos, se presta especial atención a los usuales Modus Ponens y Modus Tollens.En el caso de las estructuras algebraicas de conjuntos 'borrosos', ninguna es de álgebra de Boole ni siquiera de orto-retículo y sólo cabe trabajar, en algunos casos, con álgebras de De Morgan-Kleene. Por lo tanto el cálculo proposicional 'fuzzy' debe construirse de acuerdo con la estructura algebraica que corresponda en cada caso y una vez elegida como representación del condicional una función que verifique el Modus Ponens ('condicional borroso').

This paper contains a reflection on the Hegelian Dialectic Synthesis, shortened by the triplet Thesis–Antithesis–Synthesis, from a formal and naive points of view inscribed in the field of ordinary or commonsense reasoning. The Dialectic Synthesis is analyzed thanks to the methodology of Fuzzy Logic, and limiting the antithesis to either negation or opposite. It is shown, through very simple examples, the necessity for arriving at a synthesis, of a common ground (either crisp or possibilistic) between the thesis and its antithesis.

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RESUMEN •¿Cómo podemos evaluar si un discurso del profesor en clase de matemáticas es efectivo de acuerdo con los objetivos de comunicar una cultura de la matemática escolar y producir oportunidades para que los alumnos aprendan contenidos de esa cultura? En este artículo presentamos la construcción de una noción de coherencia local aplicable al discurso matemático hablado en clase. Creamos indicadores de coherencia y los relacionamos con la generación de oportunidades de aprendizaje matemático. Ilustramos esto con datos de dos profesores y la caracterización del discurso-su coherencia-en su enseñanza con ejemplos. La discusión de grados de coherencia y de oportunidades de aprendizaje sugiere diferencias entre el discurso de ambos profesores. Evaluamos la noción desarrollada a partir de este resultado. PALABRAS CLAVE: discurso matemático del profesor; enseñanza con ejemplos; coherencia local del discurso; oportunidades de aprendizaje matemático. ABSTRACT • How can we examine if a teacher's discourse in the mathematics classroom is effective according to the goals of communicating a culture of school mathematics and producing opportunities for students to learn contents of this culture? In this paper, we present the construction of a notion of local coherence applied to the oral mathematical discourse in the classroom. We create indicators of coherence and relate them to the generation of mathematics learning opportunities. We illustrate the process with data from two teachers and the characterization of their discourse-its coherence-when teaching with examples. The discussion of grades of coherence and learning opportunities serves to distinguish the teachers' discourses. Drawing on this finding, we evaluate the notion of local coherence.

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