¿Hacia un replanteamiento del cálculo proposicional clásico?

Abstract

resumenEl cálculo proposicional se basa proposiciones que son tautologías, antilogías y de tipo contingente, construidas con las operaciones de disyunción, conjunción, y negación, así como con el llamado condicional material para trasladar los enunciados condicionales. Con todo ello se obtiene una estructura de álgebra de Boole, que permite equiparar el cálculo proposicional al cálculo algebraico booleano. En parte, la simplificación conceptual que se obtiene resulta de ser el orden parcial del álgebra equivalente a la afirmación del condicional material. Además, con tal metodología cabe ver qué partes del cálculo proposicional clásico pueden trasladarse, aun con limitaciones, a estructuras más débiles y, a la vez, más generales, como son los ortoretículos no booleanos o las álgebras de De Morgan.El cálculo proposicional trata con la deducción. Por ello, el artículo lo desarrolla a partir de un operador de consecuencias en el sentido de Tarski. Ampliado el modelo deductivo, es fácil ver otras consecuencias que las usualmente consideradas en los textos elementales; en particular, se analizan cuatro esquemas de razonamiento deductivo típicos y, entre ellos, se presta especial atención a los usuales Modus Ponens y Modus Tollens.En el caso de las estructuras algebraicas de conjuntos 'borrosos', ninguna es de álgebra de Boole ni siquiera de orto-retículo y sólo cabe trabajar, en algunos casos, con álgebras de De Morgan-Kleene. Por lo tanto el cálculo proposicional 'fuzzy' debe construirse de acuerdo con la estructura algebraica que corresponda en cada caso y una vez elegida como representación del condicional una función que verifique el Modus Ponens ('condicional borroso').

Razonar y especular

“…Por ejemplo, en el caso del razonamiento con propiedades nítidas, disponiendo potencialmente de cuanta información previa sea menester y sin incertidumbre, la estructura de álgebra de Boole se acepta como indiscutible (Trillas, García-Honrado, (2013)). Cuando las propiedades son precisas pero existe incertidumbre de tipo aleatorio, la adición al álgebra de Boole de una probabilidad, apoyada en los datos de tipo estadístico disponibles, es empleada con éxito en muchas ocasiones; pero, si las propiedades exhibidas son imprecisas o si la incertidumbre no es de tipo aleatorio, entonces puede ser interesante el uso de modelos distintos al de la probabilidad y como son, por ejemplo, las funciones de credibilidad o las medidas de posibilidad y probabilidad borrosa de Zadeh (Trillas (2017)).…”

“…¿Qué leyes adicionales se requieren, por ejemplo, para poder contar con la llamada propiedad del 'reparto perfecto' p = p • q + p • q', para enunciados cualesquiera p y q? Se trata de una propiedad que, típica de las álgebras de Boole (Trillas, García-Honrado, (2013)), antecede a la propiedad aditiva de una medida de probabilidad.…”

“…En las álgebras de Boole, en el cálculo proposicional clásico (Trillas, García-Honrado, (2013)), no se distinguen contradicción e incompatibilidad como sucede de ordinario; los principios de No-contradicción y Tercero Excluido se presentan en forma de los axiomas p • p' = 0 y p + p' = 1, en ellas equivalentes a lo presentado en el teorema 10. En las álgebras de Boole 'p y no-p' se considera imposible cuando es un enunciado equivalente al mínimo 0 del retículo, en tanto que 'no (p o no-p))' se considera imposible o 'p o no-p' totalmente posible, cuando 'p o no-p' es equivalente al máximo 1 del retículo.…”

Applying CHC Models to Reasoning in Fictions

“…Nevertheless, in spite of its obviousness, this inference presupposes some particular structural features. As argued in [1] "deduction" and "inference", must be clearly distinguished when formalizing reasoning. And one has to be aware also that the validity of formulas belonging to the language, depends on the particular deductive system at stage.…”

“…In the development of CHC-Models during the last decade, the construction of conjecture's operators has relied persistently on standard consequences' operators. Recently, in [1] it has been shown that to keep the most typical properties of the concept of conjecture, it suffices to only consider operators that are extensive and monotonic, but without enjoying the closure property. It is worth to get a glimpse at this.…”