The geodesic has a fundamental role in physics and in mathematics: roughly speaking, it represents the curve that minimizes the arc length between two points on a manifold. We analyze a basic but misinterpreted difference between the Lagrangian that gives the arc length of a curve and the one that describes the motion of a free particle in curved space. Although they provide the same formal equations of motion, they are not equivalent. We explore this difference from a geometrical point of view, where we observe that the non-equivalence is nothing more than a matter of symmetry. As applications, some distinct models are studied. In particular, we explore the standard free relativistic particle, a couple of spinning particle models and also the forceless mechanics formulated by Hertz.

No presente trabalho, apresentamos definições operacionais para as grandezas físicas distância, massa e tempo. Tentativas de formular uma definição operacional bem fundamentada para grandezas físicas foram primeiramente propostas no fim do século 19 por Hermann von Helmholtz e Otto Hölder. O problema consiste em como associar um número (o valor da grandeza) com uma entidade não-numérica (a própria grandeza). O trabalho apresenta uma releitura moderna dos autores mencionados. Parafraseando Feynman no seu clássico trabalho das integrais de caminho, "there is a pleasure in recognizing old things from a new point of view". Palavras-chave: grandezas físicas, teoria da medida, definição operacional.In the present paper, we present operational definitions of the physical quantities distance, mass and time. Attempts to formulate a well-based operational definition of physical entities were first proposed in the end of the 19-th century by Hermann von Helmholtz and Otto Hölder. The problem consists in finding how to associate a number (the value of the entity) with a non-numerical entity (the entity itself). The paper presents a modern reading of the above mentioned authors. Paraphrasing Feynman in his classic work on path integrals, "there is a pleasure in recognizing old things from a new point of view". Keywords: physical quantities, measurement theory, operational definition. IntroduçãoEm uma conversa usual e informal entre duas pessoas, e comum o uso de exemplos para explicar o significado de um objeto, procedimento ou o que quer que seja. Se a mesma conversa acontecesse entre dois matemáticos, então eles (provavelmente) evitariam o uso de exemplos e lançariam mão do que chamamos de definição, no lugar dos exemplos. Extrapolando um pouco mais e supondo que dois físicos conversassem, seria razoável esperar que no lugar de exemplos ou definições, eles usassem o que chamaremos de definição operacional. Este termo foi cunhado pelo físico P. W. Bridgman [1] e significa que nenhum conceito pode ser usado, o qual não possa ser definido a partir de um procedimento operacional. Vamos então tratar neste trabalho, seguindo este ideal, sobre a construção de grandezas físicas,à la P. W. Bridgman.As primeiras tentativas de se construir a noção de valores de grandezas associadas aos fundamentos de medidas foram feitas por Hermann von Helmholtz [2]. A formalização deste processo, que consiste em associar injetivamente uma estrutura qualitativa com uma estrutura algébrica (numérica), pode ser encontrada no antigo trabalho de O. Hölder [3], onde ele propõe uma teoria axiomática da medida. Uma leitura mais moderna pode ser vista em [4] e [5]. No texto acima, a palavra "associar" consiste no processo de medida; "estrutura qualitativa" * Endereço de correspondência: brunorizzuti@fisica.ufjf.br. corresponde ao conjunto de objetos para o qual a grandeza está definida e, por fim,à "estrutura numérica" associamos a quantificação da grandeza em questão. Como veremos, o conjunto de objetos para qual determinada grandeza está bem definida será...