A compreensão dos números racionais é um dos maiores desafios conceituais enfrentados pelos estudantes na aprendizagem matemática durante a educação básica. No que diz respeito às frações, estabelecer a relação inversa entre o numerador e o denominador torna-se uma habilidade fundamental na construção do conceito. Os objetivos deste estudo foram: verificar como a compreensão da relação inversa entre quantidades menores do que a unidade, apresentadas nas situações de quociente e parte-todo, influencia na aprendizagem das frações; e perceber se existe diferença no desempenho entre alunos brasileiros e portugueses quanto à compreensão da relação inversa entre quantidades em problemas de fração. Os resultados indicam que os estudantes apresentam uma melhor compreensão da relação inversa entre quantidades na situação quociente e apontam que os desempenhos dos estudantes portugueses são significativamente melhores do que os dos estudantes brasileiros, nos diferentes tipos de situação. A discrepância no desempenho dos estudantes pode ser explicada pelas diferenças nos programas curriculares de matemática no quarto ano nesses países. Implicações no ensino da matemática nesses dois países foram discutidas.
ResumoAs orientações curriculares recentes antecipam o ensino das frações para o 2.º ano de escolaridade e preconizam uma abordagem mais aprofundada a este tópico ainda durante o 1.º ciclo do ensino básico. O conceito de fração é um conceito reconhecidamente complexo, por um lado, e considerado essencial para a aprendizagem matemática futura da criança, por outro. Dominar o conceito de fração pressupõe compreender as suas propriedades e os seus diferentes significados. Face a todo este cenário e à escassez de estudos neste âmbito procurou-se, com este estudo, analisar o conhecimento dos professores do 1.º ciclo sobre o conceito de fração. Palavras-chave: frações, significados de fração, conhecimento do professor. Sobre o ensino de fraçõesO conceito de fração é considerado complexo, mas simultaneamente um conceito basilar na aprendizagem matemática das crianças. Possuir um completo conceito de fração implica, nomeadamente, saber representar e operar com frações em diferentes significados ou interpretações (Behr, Lesh, Post & Silver, 1983;Nunes, Bryant, Pretzlik, Wade, Evans & Bell, 2004).É possível encontrar na literatura diferentes classificações de significados ou interpretações de fração. Kieren (1976), baseado no conceito de subconstructo, distingue sete interpretações para o conceito de fração, a saber: quociente; medida (inclui o modelo parte-todo); razão; operador. Posteriormente, Behr et al. (1983), baseados na classificação inicial de Kieren, distinguiram as mesmas situações embora considerando medida e parte-todo como dois modelos distintos. Marshall (1993), baseada no conceito de 'schema', apresenta uma classificação muito idêntica à de Behr e colegas, distinguindo situações com a mesma designação. Mais recentemente Nunes et al. (2004) (Nunes et al., 2004). Na prática de sala de aula, é frequente abordar-se o conceito de fração reduzindo-o apenas às interpretações parte-todo e operador (Behr, Harel, Post & Lesh, 1992;Kerslake, 1986;Cardoso & Mamede, 2013;. Nesta abordagem, tradicionalmente, o professor apresenta aos alunos uma figura (um retângulo ou um círculo) dividida num certo número de partes iguais, onde é assinalada uma parte delas, aparecendo a fração como uma relação entre a parte selecionada e o todo da figura. Porém, este tipo de ensino limita o conceito de fração dos alunos (Kerslake, 1986). Limita, por exemplo, o desenvolvimento da ideia de que uma fração pode ser maior do que 'um'. Efetivamente, o procedimento de começar com um 'todo' que é dividido em várias partes iguais das quais algumas são retiradas não se adapta facilmente à fração 4 3 , por exemplo (Kerslake, 1986).As orientações curriculares recentes preconizam a abordagem ao conceito de fração de uma forma mais aprofundada ainda durante o 1.º ciclo do ensino básico. De acordo com estas orientações, os alunos deverão tomar contato, em particular, com diferentes significados de fração (quociente, parte-todo, medida e operador). No processo de ensino aprendizagem, o papel do professor assume-se como crucial na implementação do currí...
Background: Creativity should be a key issue in mathematics learning. However, mathematics class rarely provides opportunities for students to experience it. Problem solving and posing can play a leading role in promoting creative thinking in mathematics. Objectives: This study aims to have an insight into 6 th -graders understanding of problem solving and posing, analyse their solving strategies, their ability to pose problems, and their difficulties when doing so. Design: Qualitative methods were used in a case study approach. An intervention of five sessions comprising five problem-solving and four problem-posing tasks was implemented in mathematics class. Setting and Participants: Participants were thirty 6 th -graders (11-12-year-olds) from a public supported school in Braga (Portugal). Data collection and analysis: Data collection used photographs, audio recordings, students' written productions, and researcher field notes. Results: Students conceptualised strategies such as building schemas and tables, solving from the end to the beginning, making attempts, and reducing to a simpler problem. Students faced problem posing positively, creating problems adjusted to the requirements, with a wide variety of creative contexts. Students' difficulties in problem solving rely on the interpretation of statements, recognition of previous similar problems, and mathematical communication; on problem posing, difficulties regarding the complexity of the formulated problems and a weak diversity of problems were identified. Conclusions: Problem solving and posing tasks can promote mathematical creativity and knowledge, therefore should be used more often in mathematics class, allowing the construction of solid mathematical skills and enthusiasm.
Resumo Este estudo procura perceber como os alunos compreendem a resolução de problemas, identificando as suas estratégias de resolução. Procura dar resposta às seguintes questões: Quais as estratégias utilizadas pelos alunos para a resolução de problemas? Como podem ser promovidas competências de resolução de problemas? Que dificuldades manifestam os alunos na resolução de problemas? Participa no estudo uma turma do 1º ano de escolaridade, com idades dos 6 aos 7 anos (n=22), de Braga, Portugal. Recorreu-se a uma metodologia qualitativa de estudo de caso, em contexto de aula de matemática, tendo-se aplicado 10 tarefas de resolução de problemas. Os resultados sugerem que os alunos, ao longo do estudo, se sentiram confortáveis com estratégias como construção de esquemas e tabelas, resolução do fim para o princípio, tentativa com indução, identificação de padrões, entre outras. No que se refere à promoção de competências no âmbito da resolução de problemas, destaca-se a importância do envolvimento ativo dos alunos na descoberta de procedimentos e estratégias, realçando o papel do professor como mediador de aprendizagens e promotor de tarefas que favoreçam o aparecimento de estratégias matematicamente relevantes. Também é relevante o papel da criatividade e da comunicação matemática nesse processo. Foram identificadas dificuldades na resolução de problemas no que se refere à interpretação de enunciados, ao contato prévio com problemas semelhantes, no planejamento, organização e simplificação de processos e na resolução de operações aritméticas.
ResumoEste artigo descreve parte de um estudo sobre as práticas de ensino de frações no 1.º ciclo. Procura resposta às questões: 1)Como é que os professores exploram e articulam os significados quociente, parte-todo, medida e operador para ensinar frações? 2)Que dificuldades manifestam os professores no desenvolvimento das suas aulas sobre frações? Realizou-se um programa de trabalho colaborativo com 4 professores e observaram-se aulas, apresentando-se aqui um dos casos. Os resultados sugerem dificuldade dos professores no ensino de frações nomeadamente na seleção e exploração de tarefas, mas também na abordagem às diferentes interpretações de fração. Palavras-chave: ensino de frações, conhecimento do professor, interpretações de fração AbstractThis article describes part of a study about the teaching of fractions in primary school levels. It seeks answers to the questions: 1) How do teachers explore and articulate the interpretations quotient, part-whole, measure and operator to teach fractions? 2) What difficulties do teachers have in the development of their classes on fractions? Classes were observed and a collaborative work program was developed, involving four teachers -one of these cases is presented in here. Results point to some teaching fragilities, namely concerning the selection and approaching of the tasks, as well as the approach to the different interpretations of fractions. Keywords: teaching of fractions, teacher's knowledge, interpretations of fractions Introdução A investigação tem vindo a sugerir dificuldades dos alunos com o conceito de fração (Behr, Wachsmuth, Post & Lesh, 1984;Kerslake, 1986; Monteiro, Pinto & Figueiredo, 2005). A investigação revela que, para além de dificuldades semelhantes com o conceito de fração, os professores consideram ser difícil o seu ensino (Alves & Gomes, 2009; Ball, Lubienski & Mewborn, 2001;Cardoso & Mamede, 2015;Post, Harel & Lesh, 1991). Ensinar fraçõesA aquisição do conceito de número racional está completa apenas quando os alunos dominam os diferentes significados de fração traduzidos nos diferentes modelos de representação (ver Behr, Lesh, Post & Silver, 1983;Nunes et al., 2004).A literatura apresenta várias classificações de interpretações, significados de frações ou situações em que as frações são utilizadas. Kieren (1976) distingue, inicialmente, sete tipos de situações em que as frações são utilizadas passando mais tarde (Kieren, 1993) a considerar apenas quatro: quociente, medida, razão e operador. Posteriormente, Behr et al. (1983), baseados na classificação inicial de Kieren, distinguiram as mesmas situações embora considerando medida e parte-todo como dois modelos distintos. Marshall (1993), baseada no conceito de 'schema', apresenta uma classificação muito idêntica à de Behr e colegas, distinguindo situações com a mesma designação. Mais recentemente Nunes et al. (2004), apresentaram uma classificação baseada no significado dos valores envolvidos na fração, distinguindo as situações quociente, parte-todo, operador e quantidades intensivas.Por ...
Resumo O saber do professor determina a qualidade das suas práticas. Porém, nem sempre o professor consegue colocar em prática as suas ideias. No caso particular dos números racionais, reconhece-se que esse é um tópico importante, mas também difícil de ensinar. Mais vezes do que o desejado, assistimos a um desalinhamento entre as ideias dos professores sobre as frações e as suas ideias para o ensino desses números. Este artigo analisa as concepções e ideias sobre as práticas dos professores do 1º. ciclo do ensino básico (anos iniciais do ensino fundamental) relativamente às frações, procurando responder às seguintes questões: 1) Que ideias têm os professores sobre as frações? 2) Como entendem que deve ser o seu ensino? Para o efeito, foram entrevistados 31 professores do ensino público português, com diversos anos de experiência no ensino. Foi conduzida uma entrevista individual semiestruturada, que procurou explorar conceitos e propriedades dos números racionais, em particular das frações, e a resolução de problemas envolvendo esses números. Os resultados obtidos evidenciam fragilidades dos docentes no conhecimento matemático sobre o conceito de fração, nomeadamente no domínio dos diferentes significados de fração, e na tradução dos diferentes modos de representação de frações. Na resolução de problemas envolvendo frações para a sala de aula, identificaram-se dificuldades, particularmente em situações que envolviam quantidades discretas e na marcação de números fracionários na reta numérica. Esses resultados parecem apelar a um ideal de formação contínua de professores que possa ir apoiando e atualizando as suas práticas letivas.
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