A compreensão dos números racionais é um dos maiores desafios conceituais enfrentados pelos estudantes na aprendizagem matemática durante a educação básica. No que diz respeito às frações, estabelecer a relação inversa entre o numerador e o denominador torna-se uma habilidade fundamental na construção do conceito. Os objetivos deste estudo foram: verificar como a compreensão da relação inversa entre quantidades menores do que a unidade, apresentadas nas situações de quociente e parte-todo, influencia na aprendizagem das frações; e perceber se existe diferença no desempenho entre alunos brasileiros e portugueses quanto à compreensão da relação inversa entre quantidades em problemas de fração. Os resultados indicam que os estudantes apresentam uma melhor compreensão da relação inversa entre quantidades na situação quociente e apontam que os desempenhos dos estudantes portugueses são significativamente melhores do que os dos estudantes brasileiros, nos diferentes tipos de situação. A discrepância no desempenho dos estudantes pode ser explicada pelas diferenças nos programas curriculares de matemática no quarto ano nesses países. Implicações no ensino da matemática nesses dois países foram discutidas.

ResumoAs orientações curriculares recentes antecipam o ensino das frações para o 2.º ano de escolaridade e preconizam uma abordagem mais aprofundada a este tópico ainda durante o 1.º ciclo do ensino básico. O conceito de fração é um conceito reconhecidamente complexo, por um lado, e considerado essencial para a aprendizagem matemática futura da criança, por outro. Dominar o conceito de fração pressupõe compreender as suas propriedades e os seus diferentes significados. Face a todo este cenário e à escassez de estudos neste âmbito procurou-se, com este estudo, analisar o conhecimento dos professores do 1.º ciclo sobre o conceito de fração. Palavras-chave: frações, significados de fração, conhecimento do professor. Sobre o ensino de fraçõesO conceito de fração é considerado complexo, mas simultaneamente um conceito basilar na aprendizagem matemática das crianças. Possuir um completo conceito de fração implica, nomeadamente, saber representar e operar com frações em diferentes significados ou interpretações (Behr, Lesh, Post & Silver, 1983;Nunes, Bryant, Pretzlik, Wade, Evans & Bell, 2004).É possível encontrar na literatura diferentes classificações de significados ou interpretações de fração. Kieren (1976), baseado no conceito de subconstructo, distingue sete interpretações para o conceito de fração, a saber: quociente; medida (inclui o modelo parte-todo); razão; operador. Posteriormente, Behr et al. (1983), baseados na classificação inicial de Kieren, distinguiram as mesmas situações embora considerando medida e parte-todo como dois modelos distintos. Marshall (1993), baseada no conceito de 'schema', apresenta uma classificação muito idêntica à de Behr e colegas, distinguindo situações com a mesma designação. Mais recentemente Nunes et al. (2004) (Nunes et al., 2004). Na prática de sala de aula, é frequente abordar-se o conceito de fração reduzindo-o apenas às interpretações parte-todo e operador (Behr, Harel, Post & Lesh, 1992;Kerslake, 1986;Cardoso & Mamede, 2013;. Nesta abordagem, tradicionalmente, o professor apresenta aos alunos uma figura (um retângulo ou um círculo) dividida num certo número de partes iguais, onde é assinalada uma parte delas, aparecendo a fração como uma relação entre a parte selecionada e o todo da figura. Porém, este tipo de ensino limita o conceito de fração dos alunos (Kerslake, 1986). Limita, por exemplo, o desenvolvimento da ideia de que uma fração pode ser maior do que 'um'. Efetivamente, o procedimento de começar com um 'todo' que é dividido em várias partes iguais das quais algumas são retiradas não se adapta facilmente à fração 4 3 , por exemplo (Kerslake, 1986).As orientações curriculares recentes preconizam a abordagem ao conceito de fração de uma forma mais aprofundada ainda durante o 1.º ciclo do ensino básico. De acordo com estas orientações, os alunos deverão tomar contato, em particular, com diferentes significados de fração (quociente, parte-todo, medida e operador). No processo de ensino aprendizagem, o papel do professor assume-se como crucial na implementação do currí...

Background: Creativity should be a key issue in mathematics learning. However, mathematics class rarely provides opportunities for students to experience it. Problem solving and posing can play a leading role in promoting creative thinking in mathematics. Objectives: This study aims to have an insight into 6 th -graders understanding of problem solving and posing, analyse their solving strategies, their ability to pose problems, and their difficulties when doing so. Design: Qualitative methods were used in a case study approach. An intervention of five sessions comprising five problem-solving and four problem-posing tasks was implemented in mathematics class. Setting and Participants: Participants were thirty 6 th -graders (11-12-year-olds) from a public supported school in Braga (Portugal). Data collection and analysis: Data collection used photographs, audio recordings, students' written productions, and researcher field notes. Results: Students conceptualised strategies such as building schemas and tables, solving from the end to the beginning, making attempts, and reducing to a simpler problem. Students faced problem posing positively, creating problems adjusted to the requirements, with a wide variety of creative contexts. Students' difficulties in problem solving rely on the interpretation of statements, recognition of previous similar problems, and mathematical communication; on problem posing, difficulties regarding the complexity of the formulated problems and a weak diversity of problems were identified. Conclusions: Problem solving and posing tasks can promote mathematical creativity and knowledge, therefore should be used more often in mathematics class, allowing the construction of solid mathematical skills and enthusiasm.

ResumoEste artigo descreve parte de um estudo sobre as práticas de ensino de frações no 1.º ciclo. Procura resposta às questões: 1)Como é que os professores exploram e articulam os significados quociente, parte-todo, medida e operador para ensinar frações? 2)Que dificuldades manifestam os professores no desenvolvimento das suas aulas sobre frações? Realizou-se um programa de trabalho colaborativo com 4 professores e observaram-se aulas, apresentando-se aqui um dos casos. Os resultados sugerem dificuldade dos professores no ensino de frações nomeadamente na seleção e exploração de tarefas, mas também na abordagem às diferentes interpretações de fração. Palavras-chave: ensino de frações, conhecimento do professor, interpretações de fração AbstractThis article describes part of a study about the teaching of fractions in primary school levels. It seeks answers to the questions: 1) How do teachers explore and articulate the interpretations quotient, part-whole, measure and operator to teach fractions? 2) What difficulties do teachers have in the development of their classes on fractions? Classes were observed and a collaborative work program was developed, involving four teachers -one of these cases is presented in here. Results point to some teaching fragilities, namely concerning the selection and approaching of the tasks, as well as the approach to the different interpretations of fractions. Keywords: teaching of fractions, teacher's knowledge, interpretations of fractions Introdução A investigação tem vindo a sugerir dificuldades dos alunos com o conceito de fração (Behr, Wachsmuth, Post & Lesh, 1984;Kerslake, 1986; Monteiro, Pinto & Figueiredo, 2005). A investigação revela que, para além de dificuldades semelhantes com o conceito de fração, os professores consideram ser difícil o seu ensino (Alves & Gomes, 2009; Ball, Lubienski & Mewborn, 2001;Cardoso & Mamede, 2015;Post, Harel & Lesh, 1991). Ensinar fraçõesA aquisição do conceito de número racional está completa apenas quando os alunos dominam os diferentes significados de fração traduzidos nos diferentes modelos de representação (ver Behr, Lesh, Post & Silver, 1983;Nunes et al., 2004).A literatura apresenta várias classificações de interpretações, significados de frações ou situações em que as frações são utilizadas. Kieren (1976) distingue, inicialmente, sete tipos de situações em que as frações são utilizadas passando mais tarde (Kieren, 1993) a considerar apenas quatro: quociente, medida, razão e operador. Posteriormente, Behr et al. (1983), baseados na classificação inicial de Kieren, distinguiram as mesmas situações embora considerando medida e parte-todo como dois modelos distintos. Marshall (1993), baseada no conceito de 'schema', apresenta uma classificação muito idêntica à de Behr e colegas, distinguindo situações com a mesma designação. Mais recentemente Nunes et al. (2004), apresentaram uma classificação baseada no significado dos valores envolvidos na fração, distinguindo as situações quociente, parte-todo, operador e quantidades intensivas.Por ...

Resumo Os estudos desenvolvidos em diferentes contextos ressaltam a capacidade que as crianças têm de resolver corretamente problemas de adição e subtração, antes ainda destas operações lhes serem formalmente ensinadas. O estudo aqui descrito procura perceber como as crianças dos 4 aos 6 anos (N=90) entendem os problemas de estrutura aditiva. Para tal, tenta responder às seguintes questões: 1) Que desempenhos apresentam as crianças quando resolvem problemas de estrutura aditiva? 2) Que estratégias usam para resolver os problemas de estrutura aditiva? Adotou-se uma metodologia quantitativa que analisa os desempenhos e as estratégias das crianças quando resolvem 28 problemas de estrutura aditiva, apresentados a partir de entrevistas estruturadas individuais. Os resultados sugerem que as crianças resolvem com facilidade os problemas propostos e utilizam estratégias adequadas para responderem corretamente, chegando mesmo a recorrer a estratégias abstratas como a contagem e os fatos numéricos.

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ResumoEste artigo aborda os padrões com alunos do 6.º ano AbstractThis article analyses the use of patterns with 6th graders, addressing two questions: 1) How do students understand the tasks involving repeating and growth patterns, in the classroom? 2) What difficulties do they manifest when solving these tasks? An intervention was carried out to implement 8 tasks to complete and explore sequences in math class. Qualitative research methods were used and data collection was based on video recording, photographs of students' work, written field notes and students' worksheets. Students proved to be able to complete and create patterns, make generalizations, and investigate orders and terms in sequences. Hey also established mathematical relationships between the sequences, based their resolutions and developed their algebraic thinking.