Lattices have been used in several problems in coding theory and cryptography. In this paper we approach q-ary lattices obtained via Constructions D, D and D. It is shown connections between Constructions D and D . Bounds for the minimum l 1 -distance of lattices Λ D , Λ D and Λ D and, under certain conditions, a generator matrix for Λ D are presented. In addition, when the chain of codes used is closed under the zero-one addition, we derive explicit expressions for the minimum l 1 -distances of the lattices Λ D and Λ D attached to the distances of the codes used in these constructions.
Resumo-Reticulados vem sendo utilizados na abordagem de vários problemas em Teoria de Códigos e Criptografia. Neste trabalho, abordamos as Construções D, D and D, fornecemos cotas inferiores e superiores para a distância mínima em relaçãò a métrica da soma do reticulado Λ D em função das distâncias dos códigos lineares utilizados em sua construção. Também apresentamos, quando a cadeia de códigos usadaé fechada sob a adição zero-um, expressões para as distâncias mínimas em relaçãoà métrica da soma dos reticulados Λ D e ΛD em função das distâncias dos códigos utilizados em suas respectivas construções.
IntroduçãoUm reticulado Λé um subgrupo aditivo discreto de R n . Equivalentemente, Λ ⊆ R né um reticulado se e somente se existem vetores linearmente independentes v 1 , ..., v m ∈ R n tais que Λé o conjunto de todas as combinações lineares inteiras de v i , i = 1, ..., m, istoé,Reticulados vem sendo utilizados naárea de comunicações em códigos corretores de erros para a transmissão de dados (veja [10] e suas referências) e na proposição de esquemas criptográficos [6,7]. Na descrição acima, o conjunto {v 1 , ..., v m }é dito uma base de Λ e o número mé denominado o posto de Λ. Se m = n dizemos que Λ possui posto completo. A matriz M cujas linhas são os vetores v 1 , ..., v mé dita uma matriz geradora de Λ. O determinante de Λé definido como det Λ = det(M M t ) e esteé um invariante por mudança de base. Denotamos por span(M ) = {uM ; u ∈ R n } o espaço vetorial gerado pelas linhas da matriz M . O reticulado dual de Λ = Λ(M ), denotado por Λ * = Λ * (M ),é definido como Λ * = {w ∈ span(M ); v, w ∈ Z, ∀v ∈ Λ}, 0 Este trabalho foi parcialmente financiado por FAPESP 2013/25997-7 e CNPq 312926/2013-8. 1 eleonesio.strey@ufes.br 2
Reticulados vêm sendo utilizados na abordagem de vários problemas em códigos corretores de erros e criptografia. Este trabalho foca em construções de reticulados a partir de códigos lineares q-ários. Construções D, D 1 e D e vários resultados são estendidos de códigos lineares binários para códigos lineares q-ários, q P N. Definimos a adição zeroum em Z n q e mostramos que a Construção D produz um reticulado se, e somente se, a cadeia de códigos utilizada é fechada sob esta adição. Fórmulas fechadas ou limitantes para a distância da soma mínima de reticulados obtidos via Construções D, D 1 e D são fornecidos. Introduzimos a Construção A 1 a partir de códigos lineares sobre o anel quociente Z q rXs{pX a q e mostramos que a mesma produz um reticulado se, e somente se, o código utilizado é fechado sob a adição zero-um deslocada. Conexões entre as construções supracitadas também são fornecidas.
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