Reticulados a partir de Códigos sobre Anéis Finitos: Conexões entre as Construções D, D0 e D

Abstract

IntroduçãoUm reticulado Λé um subgrupo aditivo discreto de R n . Equivalentemente, Λ ⊆ R né um reticulado se e somente se existem vetores linearmente independentes v 1 , ..., v m ∈ R n tais que Λé o conjunto de todas as combinações lineares inteiras de v i , i = 1, ..., m, istoé,Reticulados vem sendo utilizados naárea de comunicações em códigos corretores de erros para a transmissão de dados (veja [10] e suas referências) e na proposição de esquemas criptográficos [6,7]. Na descrição acima, o conjunto {v 1 , ..., v m }é dito uma base de Λ e o número mé denominado o posto de Λ. Se m = n dizemos que Λ possui posto completo. A matriz M cujas linhas são os vetores v 1 , ..., v mé dita uma matriz geradora de Λ. O determinante de Λé definido como det Λ = det(M M t ) e esteé um invariante por mudança de base. Denotamos por span(M ) = {uM ; u ∈ R n } o espaço vetorial gerado pelas linhas da matriz M . O reticulado dual de Λ = Λ(M ), denotado por Λ * = Λ * (M ),é definido como Λ * = {w ∈ span(M ); v, w ∈ Z, ∀v ∈ Λ}, 0 Este trabalho foi parcialmente financiado por FAPESP 2013/25997-7 e CNPq 312926/2013-8. 1 eleonesio.strey@ufes.br 2

Construções de reticulados a partir de códigos q-ários

“…No Capítulo 3, são apresentadas nossas principais contribuições que incluem os resultados de [41][42][43][44]. Na Seção 3.1, estudamos a Construção A para códigos lineares qários (q ∈ N) e mostramos que o reticulado tridimensional de maior densidade na métrica da soma pode ser obtido via Construção A. Na Seção 3.2.1, estendemos a Construção D para códigos lineares q-ários (q ∈ N) e mostramos que a mesma sempre produz um reticulado.…”

“…Os resultados deste capítulo incluem os apresentados em [41,42], os quais possuem versões preliminares [43,44].…”