On bi-Hamiltonian geometry of some integrable systems on the sphere with cubic integral of motion

Abstract

We obtain bi-Hamiltonian structure for a family of integrable systems on the sphere S 2 with an additional integral of third order in momenta. These results are applied to the Goryachev system and Goryachev-Chaplygin top for which we give an explicit procedure to find the separated coordinates and the separated relations.

On quadratures of integrable systems on a sphere with higher degree integrals of motion

“…Следуя работам [23,25,26], введем комплексные координаты q 1,2 на том же самом фазовом пространстве T * S 2 как корни другого полинома второго порядка по λ…”

“…В работах [19,20,25] для различных интегрируемых систем на сфере с интегралами движения третьего и четвертого порядка методом грубой силы (т. е. методом подстановок, ограничений и выбором специальной стратегии решений) были решены переопределенные системы алгебро-дифференциальных уравнения, которые в бигамильтоновой геометрии ис-пользуются для определения переменных разделения. В работах [22,23] было введено по-нятие тензоров Пуассона натурального вида, что позволило понять геометрические истоки данного алгоритма и найти некоторые общие геометрические свойства переменных разделе-ния для волчка Ковалевской, системы Чаплыгина, гиростата Горячева-Чаплыгина, систем Горячева и Дуллина-Матвеева и др.…”

“…В ряде работ [19][20][21][22][23]25] были построены новые переменные разделения для несколь-ких интегрируемых систем натурального вида на двумерной единичной сфере, обладающих интегралами движения третьей и четвертой степени по импульсам. Основной целью этих работ было развитие аппарата бигамильтоновой геометрии, позволяющего вычислять пе-ременные разделения и разделенные уравнения, используя при этом только выражения для интегралов движения и определение кинематической скобки Пуассона, относительно которой они находятся в инволюции.…”

Dynamics on strata of trigonal Jacobians and some integrable problems of rigid body motion

“…The paper is organized as follows. In Section 2 we reproduce the reduction to quadratures of the Goryachev system first made in [VT09] and interpret them as sums of two holomorphic differentials on a genus 3 trigonal curve C, also indicating its canonical form. The original variables of the system are then expressed in terms of coordinates of two points on the curve.…”

Integrable systems on the sphere associated with genus three algebraic curves

“…

New variables of separation for few integrable systems on the two-dimensional sphere with higher order integrals of motion are considered in detail. We explicitly describe canonical transformations of initial physical variables to the variables of separation and vice versa, calculate the corresponding quadratures and discuss some possible integrable deformations of initial systems .The aim of this note is to discuss separation of variables for integrable natural systems on the two-dimensional unit sphere S 2 from [21,22,23,24,26]. In the above mentioned previous papers we focused our attention on the bi-Hamiltonian calculations of the variables of separation starting from the given integrals of motion.

…”