Integrable systems on the sphere associated with genus three algebraic curves

Abstract

New variables of separation for few integrable systems on the two-dimensional sphere with higher order integrals of motion are considered in detail. We explicitly describe canonical transformations of initial physical variables to the variables of separation and vice versa, calculate the corresponding quadratures and discuss some possible integrable deformations of initial systems .

Comments on P.E. Ryabov «Explicit integration and topology of D.N. Goryachev case»

“…Используя эти переменные q 1,2 и соответствующие канонически сопряженные им-пульсы p 1,2 [9,10], некоммутирующие корни полинома (4) можно переписать в следующем виде:…”

Разделение Переменных Для Некоторых Систем С Интегралом Движения Четвертой Степени

“…. , можно использовать для построения переменных разделения, связанных с различными интегрируемыми обобщениями исходного векторного поля [3], [9], [10]. За редким исключением, все известные нам бивекторы Пуассона P ′ , P ′′ , .…”

“…удовлетворяют уравнениям (9). Следовательно, система уравнений (9) имеет априори бесконечное число решений [13], и это представляет собой одну из основных сложностей применения данного метода построения переменных разделения для конкретных интегрируемых систем.…”

“…Следовательно, система уравнений (9) имеет априори бесконечное число решений [13], и это представляет собой одну из основных сложностей применения данного метода построения переменных разделения для конкретных интегрируемых систем. В силу этого встает вопрос о выборе векторных полей Y специального вида, который позволит сузить область поиска решений уравнений (9). Например, мы можем ввести коэффициент пропорциональности между исходным полем X и полем Y ,…”

“…Более того, эту процедуру можно применять итеративно при усложнении структуры гамильтониана. Так как для рассматриваемых систем при c = d = e = λ = 0 поле Y известно [9], [4], решение уравнений (9) для обобщенного волчка Ковалевской и обобщенной системы Чаплыгина сводится к нахождению дополнительных слагаемых в выражении для поля Y , которые отвечают дополнительным слагаемым Яхьи в гамильтонианах (2) и (3).…”