We obtain bi-Hamiltonian structure for a family of integrable systems on the sphere S 2 with an additional integral of third order in momenta. These results are applied to the Goryachev system and Goryachev-Chaplygin top for which we give an explicit procedure to find the separated coordinates and the separated relations.

Recently one integrable model with a cubic first integral of motion has been studied by Valent using some special coordinate system. We describe the bi-Hamiltonian structures and variables of separation for this system.

No abstract

We discuss bi-Hamiltonian structure for the Bogoyavlensky system on so(4) with an additional integral of fourth order in momenta. An explicit procedure to find the variables of separation and the separation relations is considered in detail.

В данной работе обсуждается возможность использования теории деформаций скобок Пуассона для построения интегрируемых возмущений известных интегрируемых систем. В качестве примера изучаются интегрируемые возмущения волчка Ковалевской, которые были получены ранее другими методами. Соответствующие бигамильтоновы структуры для этих возмущений, полученные в рамках обсуждаемого подхода, получены впервые.Ключевые слова: пуассонова геометрия, волчок Ковалевской 1. Введение В гамильтоновой механике любая функция H на фазовом пространстве M порождает описывающее некоторую динамическую систему векторное поле X X = P dH.(1.1)Здесь dH -дифференциал H, а P -бивектор Пуассона на многообразии M . Такая дина-мическая система называется интегрируемой по Лиувиллю, если существует достаточное число функционально независимых функций H i на M , попарно взятые скобки Пуассона от которых равны нулю: