Modelos epidemiológicos fracionários: o que se perde, o que se ganha, o que se transforma?

Abstract

Resumo. Buscamos investigar o uso de derivadas fracionárias no modelo SIR, tanto analiticamente quanto por meio de simulações. Nos interessamos pelos questionamentos de persistência de características na transição do modelo inteiro para o fracionário. Em particular, analisamos unidades, conservação da população, a impossibilidade de utilizar a derivada de Riemann-Liouville, cuidados com a não negatividade e a monotonicidade e, finalmente, o ponto de pico e os equilíbrios.Palavras-chave. Modelo SIR, Derivadas Fracionárias, Persistência de Características IntroduçãoA matemática está desempenhando um papel cada vez mais importante na física e nas ciências biológicas, fazendo ressurgir o interesse por técnicas modernas e clássicas da matemática aplicada [4]. A biologia se torna mais quantitativa e, por um lado, temos a realidade física, fornecendo dados. Por outro, a elaboração de hipóteses e teorias que buscam organizar a realidade por meio de leis matemáticas: é a construção de um modelo. O modelo criado, então, é estudado matematicamente e computacionalmente, após o que necessita ser confrontado com os dados para sua validação. Assim, a teoria matemática e a realidade se retroalimentam de maneira contínua.A modelagem fracionária permite capturar a dependência de estágios anteriores em materiais ou processos e, nesse contexto, torna mais próximos da realidade fenômenos biológicos, reológicos, sistemas mecânicos, elétricos etc [22]. Comumente, um modelo já existente é flexibilizado pela substituição da ordem inteira da derivada por uma fracionária. Em particular, modelos tipo SIR têm sido largamente estudados com ordens fracionárias (exemplos são citados ao longo do texto).Embora essa substituição possa produzir estimativas muito acuradas, questionamos: quais características do modelo original são mantidas? A mudança na ordem das derivadas estabelece automaticamente modelos consistentes quanto à definição de parâmetros, significado físico, conservação e unidades? O que dizer sobre não negatividade, monotonicidade (quando houver), entre outras questões? O uso de técnicas para resolver esses modelos analiticamente ou numericamente é um campo interessante por si só. Porém, do ponto de vista da modelagem, é importante tentar verificar como, onde e por que as derivadas fracionárias interferem no modelo. Esses questionamentos são trabalhados na Seção 3, após alguns preliminares. Na Seção 4, comparamos teoria e resultados numéricos e, na Conclusão, citamos um exemplo diferenciado de modelagem fracionária. PreliminaresNesta seção, apresentamos as principais definições e resultados utilizados no trabalho. O Cálculo FracionárioEm uma carta de 1695, l'Hôpital questionou Leibniz sobre a possibilidade e o significado de uma derivada de ordem 1/2, acontecimento que pode ser considerado como o nascimento do Cálculo Fracionário. Nos três séculos seguintes, importantes avanços foram realizados por Liouville, Riemann,

Limitations and applications in a fractional Barbalat’s Lemma

“…The external trajectory is equivalent to the traditional model and the red dot indicates . However, as we see in [ 15 ], the equilibrium is not globally stable. It is also possible to note that, as the greater is , faster is the model.…”

“…The problem is that, without other hypotheses, this result is not valid. The example that we discuss is based on [ 6 ] and, in [ 15 ], we also can see that this assertion fails in the SIR model.…”

Some remarks on an arbitrary-order SIR model constructed with Mittag-Leffler distribution

“…Generally, they are obtained by replacing an integer derivative with an arbitrary-order one. Throughout our research, we publish some works about meaning difficulty, loss of properties and the lack of the construction of fractional SIR type models ( [3], [4], [5]). In this context, we study a model proposed by Angstmann, Henry and McGann [6] in which the arbitrary-order derivatives are obtained by construction, considering Mittag-Leffler functions and generalizing the infectivity and remotion functions.…”

Estudos Numéricos em um Modelo SIR Fracionário

“…Em [1], ilustramos algumas dificuldades com essa prática. Em particular, ordens distintas nos compartimentos levam ao desequilíbrio da massa (oscilação inexplicável da população).…”