Some remarks on an arbitrary-order SIR model constructed with Mittag-Leffler distribution

Monteiro, Noemi Zeraick; Mazorche, Sandro R.

doi:10.21711/231766362022/rmc512

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“…Thus, in [ 19 ], we follow the footsteps of Angstmann, Henry & McGann [ 1 ], where they use the probabilistic language of Continuous Time Random Walks (CTRW). The Riemann-Liouville derivative appears throughout the construction, and following up results and applications are discussed in [ 17 , 20 , 22 , 18 ].…”

Section: Discussionmentioning

confidence: 99%

Limitations and applications in a fractional Barbalat’s Lemma

Monteiro

Mazorche

2022

Fract Calc Appl Anal

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Barbalat’s Lemma is a mathematical result that can lead to the solution of many asymptotic stability problems. On the other hand, Fractional Calculus has been widely used in mathematical modeling, mainly due to its potential to make explicit the dependence of previous stages through nonlocal operators. In this work, we present a fractional Barbalat’s Lemma and its proof, as proposed in [ 31 ]. The proof is analyzed in order to show an imprecision. In fact, for orders , we are not able to get the supreme limit of the integrand. Then, a counterexample and a corrected version of the lemma are presented, according to [ 9 ]. The objective of this work is to draw attention to the potential and limitations of a fractional Barbalat’s Lemma, given its wide use in recent articles. In a fractional SIR model, we exhibit the constraint of the result by introducing a non-periodic relapse. So, the supreme limit could not be verified. Also in this context, we provide a general discussion of the classical Calculus’ properties that are not inherited if we change the integer orders to fractional ones.

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Section: Discussionmentioning

confidence: 99%

Limitations and applications in a fractional Barbalat’s Lemma

Monteiro

Mazorche

2022

Fract Calc Appl Anal

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“…Com a crescente popularização da aplicação do Cálculo Fracionário em modelos matemáticos clássicos, temos encontrado situações que não são compatíveis com a matemática empregada e nem com condições criadas ou impostas pela modelagem do problema. Tendo estas preocupações, ao longos do últimos anos, chamamos a atenção para tais fatos em [8][9][10]. Com este modelo, infelizmente, não foi diferente, como podemos ver, por exemplo, no artigo [1].…”

Section: Formulação Do Modelo Em Derivadas Fracionáriasunclassified

Flutuações no Brilho da Via Láctea: Da Teoria de Ambartzumian ao Caso Fracionário.

Mendonça,

Mazorche

2023

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo. No presente trabalho, é realizada uma releitura de um modelo sobre a teoria das flutuações no brilho da Via Láctea, idealizado por Ambartzumian e Gordeladse em 1940 e descrito matematicamente por Chandrasekhar e Munch em 1950. De forma objetiva e clara, é apresentado o problema estatístico em que estrelas e nuvens interestelares ocorrem com uma distribuição uniforme. E seguida, é apresentada uma versão deste modelo em derivadas fracionárias, onde sua solução é dada por uma série de Dirichlet Generalizada pela função de Mittag-Leffler. É feito um caso numérico dos modelos descritos.Palavras-chave. Equação de Ambarzumian, Derivada Fracionária, Flutuações de Brilho Estelares. IntroduçãoO modelo que será tratado aqui foi idealizado nos anos 1940 por Ambartzumian e Gordeladse, e de forma incrível foi descrito matematicamente por Chandrasekhar e Munch em uma série de cinco artigos entre os anos 1950-1951 [2, 3]. Chandrasekhar e Munch, por meio de um modelo estatístico para inferir as propriedades de nuvens interestelares com base nas flutuações no brilho, em especial da Via Láctea, partem de uma equação integral de uma função de distribuição da intensidade do brilho e chegam a uma equação diferencial que é conhecida como equação de Ambartzumian. Assim, nossos estudos se iniciam com o modelo tratado nos dois primeiros artigos de Chandrasekhar e Munch [2]. Nestes, os autores modelam o problema com nuvens discretas, o que favorece a construção da equação diferencial, com uma matemática bem refinada e avançada mesmo para os dias de hoje, pois ao longo dos anos tem influenciados muitos pesquisadores e gerado muitos artigos sobre este tema.As flutuações de brilho foram interpretadas como sendo influenciadas principalmente pelo número variável de nuvens absorventes discretas ao longo de uma linha de visão. Nestes cinco artigos [2] e [3], a matemática empregada é espetacularmente assustadora, mas as ideias básicas são simples e têm relevância direta hoje. Nos dois primeiros artigos [2], os autores derivaram uma equação integral-diferencial para as flutuações no brilho em termos da distribuição de frequência das extinções de nuvens. Esta equação pode ser vista como um exemplo específico da equação de Chapman-Kolmogorov [14], que descreve a distribuição de probabilidade de variáveis que sofrem ambas as mudanças contínuas bem como "saltos". Nos dois artigos subsequentes(III-IV) [3], eles resolvem essa equação para os casos em que o sistema de nuvens de extensão infinita é uma distribuição particular de extinção (artigo-II), o caso da extensão finita, mas de extinção constante por nuvem (artigo-III), e o caso geral de distribuições arbitrárias de extinção por extensão infinita (artigo-IV). Limber, em [7], generalizou em extensão finita, enquanto Munch, em [11], usou o modelo para estimar o comprimento da correlação na Via Láctea. Em todos os trabalhos acima

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“…Também foram discutidos os números de reprodução e apresentamos uma nova proposta para sua aproximação. Essas extensões aparecem em nossa publicação[93], sendo mais desenvolvidas nesta dissertação. Outro exemplo de resultado original é o de que a trajetória da solução para α = β, no caso sem dinâmica vital, é a mesma para qualquer α ∈ (0, 1].Os resultados numéricos corroboram os resultados teóricos.…”

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“…Por outro lado, quanto maior o β, mais tempo leva para ocorrer o pico de infecção e é maior, embora o perfil da onda de infectados não mude muito, já que β não influencia a função de permanência φ. Esse tipo de discussão valida e facilita o uso significativo do modelo.Também discutimos um comportamento incomum do modelo do Capítulo 4, onde a curva I decresce antes de começar a subir. Os resultados numéricos e a análise de comportamentos incomuns do modelo do Capítulo 4 deram oportunidade às apresentações[94]-[95]. Ainda, foram realizados ajustes do modelo a dados da COVID-19 via Mínimos Quadrados usando o algoritmo FDIPA -Feasible Directions Interior Point Algorithm[82].…”

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Aplicação do cálculo de ordem arbitrária à epidemiologia

Monteiro¹

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O Cálculo de ordem arbitrária, conhecido como Cálculo Fracionário, possui aplicações em inúmeras áreas, como engenharia, física e biologia. Ao contrário do Cálculo de ordem inteira, que é local, os operadores que estudamos no Cálculo de ordem não inteira são não locais. Assim, incluem a possibilidade de considerar a memória do fenômeno estudado, isto é, a dependência de estágios anteriores. Porém, sua imensa aplicabilidade coexiste com a dificuldade de uma teoria unificada e coerente. Neste trabalho, estudamos aplicações do Cálculo de ordem arbitrária a modelos tipo SIR. Procuramos estabelecer algumas bases, tanto de Cálculo Fracionário quanto do modelo SIR tal qual foi originalmente construído e, assim, discutimos as principais dificuldades na utilização de um modelo SIR de ordem arbitrária. Também revisamos a construção de um modelo não usual, onde as derivadas de ordem arbitrária surgem de maneira epidemiologicamente significativa a partir da dependência do tempo desde a infecção na infectividade e na remoção, aliada à utilização das funções de Mittag-Leffler. Em ambos os casos, estudamos pontos de equilíbrio, positividade e outras questões de relevância, como o significado dos parâmetros. Alguns desses estudos foram realizados de maneira original. Os modelos apresentados foram também analisados de forma numérica, através de implementação no MATLAB. Finalmente, propomos extensões do modelo construído, no que diz respeito à possibilidade de representação de ondas: infectividade oscilatória, compartimento de quarentena e dinâmica da imitação (comportamento humano). As extensões foram propostas de forma que o significado da construção fosse mantido, sendo também analisadas numericamente e comparadas, ainda, a alguns dados reais da pandemia de COVID-19.

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Some remarks on an arbitrary-order SIR model constructed with Mittag-Leffler distribution

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Limitations and applications in a fractional Barbalat’s Lemma

Limitations and applications in a fractional Barbalat’s Lemma

Flutuações no Brilho da Via Láctea: Da Teoria de Ambartzumian ao Caso Fracionário.

Aplicação do cálculo de ordem arbitrária à epidemiologia

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