We seek investigate the use of fractional derivatives, both analytically and through simulations. We derivate some models and perform investigations about them, discussing difficulties and differences between classic and fractional models. Also, we analyzed the COVID-19 pandemic using a fractional epidemiological SIR model and performed a numerical analysis using finite differences and implementation in MATLAB.
Resumo. Buscamos investigar o uso de derivadas fracionárias no modelo SIR, tanto analiticamente quanto por meio de simulações. Nos interessamos pelos questionamentos de persistência de características na transição do modelo inteiro para o fracionário. Em particular, analisamos unidades, conservação da população, a impossibilidade de utilizar a derivada de Riemann-Liouville, cuidados com a não negatividade e a monotonicidade e, finalmente, o ponto de pico e os equilíbrios.Palavras-chave. Modelo SIR, Derivadas Fracionárias, Persistência de Características IntroduçãoA matemática está desempenhando um papel cada vez mais importante na física e nas ciências biológicas, fazendo ressurgir o interesse por técnicas modernas e clássicas da matemática aplicada [4]. A biologia se torna mais quantitativa e, por um lado, temos a realidade física, fornecendo dados. Por outro, a elaboração de hipóteses e teorias que buscam organizar a realidade por meio de leis matemáticas: é a construção de um modelo. O modelo criado, então, é estudado matematicamente e computacionalmente, após o que necessita ser confrontado com os dados para sua validação. Assim, a teoria matemática e a realidade se retroalimentam de maneira contínua.A modelagem fracionária permite capturar a dependência de estágios anteriores em materiais ou processos e, nesse contexto, torna mais próximos da realidade fenômenos biológicos, reológicos, sistemas mecânicos, elétricos etc [22]. Comumente, um modelo já existente é flexibilizado pela substituição da ordem inteira da derivada por uma fracionária. Em particular, modelos tipo SIR têm sido largamente estudados com ordens fracionárias (exemplos são citados ao longo do texto).Embora essa substituição possa produzir estimativas muito acuradas, questionamos: quais características do modelo original são mantidas? A mudança na ordem das derivadas estabelece automaticamente modelos consistentes quanto à definição de parâmetros, significado físico, conservação e unidades? O que dizer sobre não negatividade, monotonicidade (quando houver), entre outras questões? O uso de técnicas para resolver esses modelos analiticamente ou numericamente é um campo interessante por si só. Porém, do ponto de vista da modelagem, é importante tentar verificar como, onde e por que as derivadas fracionárias interferem no modelo. Esses questionamentos são trabalhados na Seção 3, após alguns preliminares. Na Seção 4, comparamos teoria e resultados numéricos e, na Conclusão, citamos um exemplo diferenciado de modelagem fracionária. PreliminaresNesta seção, apresentamos as principais definições e resultados utilizados no trabalho. O Cálculo FracionárioEm uma carta de 1695, l'Hôpital questionou Leibniz sobre a possibilidade e o significado de uma derivada de ordem 1/2, acontecimento que pode ser considerado como o nascimento do Cálculo Fracionário. Nos três séculos seguintes, importantes avanços foram realizados por Liouville, Riemann,
Our recent works discuss the meaning of an arbitraryorder SIR model. We claim that arbitrary-order derivatives can be obtained through special power-laws in the infectivity and removal functions. This work intends to summarize previous ideas and show new results on a meaningful model constructed with Mittag-Leffler functions. We emphasize the tricky idea to deal with equilibria, the nonlocality of the model and the non-intuitive behavior near the lower terminal.
O Cálculo de ordem arbitrária, conhecido como Cálculo Fracionário, possui aplicações em inúmeras áreas, como engenharia, física e biologia. Ao contrário do Cálculo de ordem inteira, que é local, os operadores que estudamos no Cálculo de ordem não inteira são não locais. Assim, incluem a possibilidade de considerar a memória do fenômeno estudado, isto é, a dependência de estágios anteriores. Porém, sua imensa aplicabilidade coexiste com a dificuldade de uma teoria unificada e coerente. Neste trabalho, estudamos aplicações do Cálculo de ordem arbitrária a modelos tipo SIR. Procuramos estabelecer algumas bases, tanto de Cálculo Fracionário quanto do modelo SIR tal qual foi originalmente construído e, assim, discutimos as principais dificuldades na utilização de um modelo SIR de ordem arbitrária. Também revisamos a construção de um modelo não usual, onde as derivadas de ordem arbitrária surgem de maneira epidemiologicamente significativa a partir da dependência do tempo desde a infecção na infectividade e na remoção, aliada à utilização das funções de Mittag-Leffler. Em ambos os casos, estudamos pontos de equilíbrio, positividade e outras questões de relevância, como o significado dos parâmetros. Alguns desses estudos foram realizados de maneira original. Os modelos apresentados foram também analisados de forma numérica, através de implementação no MATLAB. Finalmente, propomos extensões do modelo construído, no que diz respeito à possibilidade de representação de ondas: infectividade oscilatória, compartimento de quarentena e dinâmica da imitação (comportamento humano). As extensões foram propostas de forma que o significado da construção fosse mantido, sendo também analisadas numericamente e comparadas, ainda, a alguns dados reais da pandemia de COVID-19.
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