Limitations and applications in a fractional Barbalat’s Lemma

Monteiro, Noemi Zeraick; Mazorche, Sandro R.

doi:10.1007/s13540-022-00111-6

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“…Com a crescente popularização da aplicação do Cálculo Fracionário em modelos matemáticos clássicos, temos encontrado situações que não são compatíveis com a matemática empregada e nem com condições criadas ou impostas pela modelagem do problema. Tendo estas preocupações, ao longos do últimos anos, chamamos a atenção para tais fatos em [8][9][10]. Com este modelo, infelizmente, não foi diferente, como podemos ver, por exemplo, no artigo [1].…”

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“…De forma muito similar às contas feitas em [2], se partimos das expressões ( 13) e ( 14) como proposta de solução aos modelos (16) e (17) respectivamente, e usando a relação (15) podemos obter sem muito esforço, expressão para as constantes A n como dado em (8), apenas observando que no lugar de q será q α . E por recursividade obtemos:…”

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Flutuações no Brilho da Via Láctea: Da Teoria de Ambartzumian ao Caso Fracionário.

Mendonça,

Mazorche

2023

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo. No presente trabalho, é realizada uma releitura de um modelo sobre a teoria das flutuações no brilho da Via Láctea, idealizado por Ambartzumian e Gordeladse em 1940 e descrito matematicamente por Chandrasekhar e Munch em 1950. De forma objetiva e clara, é apresentado o problema estatístico em que estrelas e nuvens interestelares ocorrem com uma distribuição uniforme. E seguida, é apresentada uma versão deste modelo em derivadas fracionárias, onde sua solução é dada por uma série de Dirichlet Generalizada pela função de Mittag-Leffler. É feito um caso numérico dos modelos descritos.Palavras-chave. Equação de Ambarzumian, Derivada Fracionária, Flutuações de Brilho Estelares. IntroduçãoO modelo que será tratado aqui foi idealizado nos anos 1940 por Ambartzumian e Gordeladse, e de forma incrível foi descrito matematicamente por Chandrasekhar e Munch em uma série de cinco artigos entre os anos 1950-1951 [2, 3]. Chandrasekhar e Munch, por meio de um modelo estatístico para inferir as propriedades de nuvens interestelares com base nas flutuações no brilho, em especial da Via Láctea, partem de uma equação integral de uma função de distribuição da intensidade do brilho e chegam a uma equação diferencial que é conhecida como equação de Ambartzumian. Assim, nossos estudos se iniciam com o modelo tratado nos dois primeiros artigos de Chandrasekhar e Munch [2]. Nestes, os autores modelam o problema com nuvens discretas, o que favorece a construção da equação diferencial, com uma matemática bem refinada e avançada mesmo para os dias de hoje, pois ao longo dos anos tem influenciados muitos pesquisadores e gerado muitos artigos sobre este tema.As flutuações de brilho foram interpretadas como sendo influenciadas principalmente pelo número variável de nuvens absorventes discretas ao longo de uma linha de visão. Nestes cinco artigos [2] e [3], a matemática empregada é espetacularmente assustadora, mas as ideias básicas são simples e têm relevância direta hoje. Nos dois primeiros artigos [2], os autores derivaram uma equação integral-diferencial para as flutuações no brilho em termos da distribuição de frequência das extinções de nuvens. Esta equação pode ser vista como um exemplo específico da equação de Chapman-Kolmogorov [14], que descreve a distribuição de probabilidade de variáveis que sofrem ambas as mudanças contínuas bem como "saltos". Nos dois artigos subsequentes(III-IV) [3], eles resolvem essa equação para os casos em que o sistema de nuvens de extensão infinita é uma distribuição particular de extinção (artigo-II), o caso da extensão finita, mas de extinção constante por nuvem (artigo-III), e o caso geral de distribuições arbitrárias de extinção por extensão infinita (artigo-IV). Limber, em [7], generalizou em extensão finita, enquanto Munch, em [11], usou o modelo para estimar o comprimento da correlação na Via Láctea. Em todos os trabalhos acima

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