Ladrilhamentos por poliominós na norma lp

Abstract

Resumo: O objetivo deste trabalhoé estudar ladrilhamentos de R n por poliominós associados a norma l p . No caso p = 1, a Conjectura de Golomb-Welch, em aberto por cerca de 44 anos, propõe que não existe ladrilhamento por tais poliominós, exceto em casos muito especiais. Aqui estamos interessados em discutir a existência de ladrilhamentos no caso geral 1 ≤ p ≤ ∞. Apresentamos resultados não-existenciais de ladrilhamentos para diferentes valores de p, bem como um estudo da forma e das propriedades combinatórias dos poliominós associados.Palavras-chave: Reticulados, Poliominós, Códigos Perfeitos, Métrica de Lee IntroduçãoUm poliominó em R né uma figura conexa formada pela união finita de cubos de lado unitário de tal maneira que pares de cubo são disjuntos ou compartilham uma face (de dimensão k < n). Um poliominó pode ser construído através da união de cubos centrados em pontos de Z n contidos em uma bola na norma l p , como mostrado na Fig. 1.Além do interesse puramente combinatório, o estudo de ladrilhamentos de R n por poliominós surge naturalmente no contexto de códigos corretores de erros. A conexão mais antigaé através de códigos na métrica de Lee, proposta por Golomb e Welch em [4]. No artigo em questão, os autores mostram que códigos perfeitos na métrica de Lee em Z n estão associados a ladrilhamentos de R n por poliominós na norma l 1 . A partir daí,é enunciada a seguinte conjectura: não existem códigos perfeitos na métrica de Lee para raio R > 1 e n > 2. Apesar de diversas tentativas e * Este trabalho teve o apoio da FAPESP proc.

Simetrias e grafos

“…Em seguida, exploramos os poliominós, criados por Solomon W. Golomb, e o ladrilhamento de retângulos. As principais referências utilizadas neste capítulo foram [1], [6], [7], [15], [16], [19], [20], [21] e [22]. Segundo Golomb (ver prefácio, em [15]), os poliominós ganharam amplo destaque a partir das publicações feitas por Gardner em sua coluna na revista Scientific American.…”