Quasi-perfect codes in the $$\ell _p$$ ℓ p metric

Um estudo sobre códigos perfeitos com as métricas lp e do grafo

“…Também, tendo como ambiente o reticulado hexagonal buscou-se encontrar códigos perfeitos (sub-reticulados perfeitos do reticulado hexagonal) com a métrica do grafo. As principais referências foram Costa et al (2004) [11], Campello et al (2016) [6] e Strapasson et al (2015) [24].…”

“…No entanto, no final do capítulo foi apresentado também a noção de códigos quase-perfeitos, bem como o conceito de grau de imperfeição de um reticulado. Além da referência principal utilizou-se também [9], [11] e [24].…”

“…Proposição 3.5.1. [24] Sejam r → 1 e p inteiros tais que p ➙ log♣2q log r r✁1 ✟ . Então, o reticulado Λ ⑨ Z 2 gerado por t♣r, 2r ✁ 1q, ♣2r, ✁1q✉ é quase-perfeito na métrica ℓ p para r ✏ 2 e r ✏ 3 e ♣r ✁ 2q-imperfeito para r → 3.…”

“…Para essa família de reticulados dados pela Proposição acima, temos que a densidade de empacotamento em Z 2 , na métrica ℓ p , é segundo [24], dada por: A partir do Lema 4.2.1 e fazendo uso de conceitos da análise combinatória é possível determinar a quantidade de pontos de uma esfera de raio r qualquer. Proposição 4.2.1.…”

“…A Figura 3.12 apresenta o código C e as bolas de empacotamento quando p ✏ 2 e p ✏ 4. A Tabela abaixo, cujos dados foram retirados de[24], mostra o grau de imperfeição de alguns reticulados Λ ⑨ Z 2 , na métrica ℓ 2 , tal que vol♣Λq ✏ 24. Tabela 3.3 -Códigos em Z 2 e seus respectivos graus de imperfeição na métrica ℓ 2…”