Construcción de la Función Integral y Razonamiento Covariacional: dos Estudios de Casos

Abstract

 ResumenEste artículo identifica algunas características de cómo estudiantes de Bachillerato (17-18 años) construyen el concepto de función integral en un experimento de enseñanza utilizando applets, y diseñado según una trayectoria hipotética de aprendizaje. De los quince estudiantes que participaron en el experimento de enseñanza se han seleccionado cinco, que se encuentran en distintos momentos del proceso de abstracción reflexiva, para hacer un estudio de casos. Los resultados indican tres características del proceso de construcción de la función integral: (i) no identificar la relación entre un extremo de un intervalo y el valor del área bajo una recta en dicho intervalo; (ii) identificar esta relación como una forma de covariación simple; y (iii) reconocer la covariación compleja entre la variable x, x [a, b], una función f(t), t [a, x] y la función integral , en funciones lineales. Estos resultados aportan información sobre la trayectoria de aprendizaje del concepto de función integral que puede ser usado en el diseño de materiales curriculares que apoyen el razonamiento covariacional en los estudiantes.Palabras clave: Abstracción reflexiva. Experimento de Enseñanza. Trayectoria Hipotética de Aprendizaje. Uso de applets. AbstractThe aim of this paper is to characterize how high school students build the integral function concept in the context of a teaching experiment using applets, and designed according to a hypothetical learning trajectory. Five out of fifteen students were chosen, which have participated in the teaching experiment and shown different moments of reflective abstraction process, to carry out a study of cases. Our results indicated three characteristics for building the integral function concept: (i) not identifying the relationship between a bound of an interval and the value of the area under a straight line belonging to this interval; (ii) identifying this relationship as a way of simple covariation; and (iii) identifying the complex covariation among the variable x, x [a, b], a function f(t), t [a, x] and the integral function , in linear functions. These results provide information about the learning trajectory of the integral function concept; this trajectory can be used for designing curricular materials that support students' covariational reasoning. IntroducciónLa enseñanza del Cálculo constituye una parte importante de los programas en la enseñanza post-obligatoria (16-18 años) y de algunos estudios universitarios y su aprendizaje ha sido objeto de debate e investigación en las últimas décadas (AZCÁRATE et al., 2015; RASMUNSSEN;BORBA, 2014). El estudio del Cálculo se centra en la comprensión de conceptos vinculados a procesos infinitos, sin embargo, muchas veces su presentación se focaliza en aspectos procedimentales como el manejo de reglas para calcular límites, derivadas o integrales (GONZÁLEZ-MARTÍN; CAMACHO, 2004;THOMPSON, 1994a).Para comprender los conceptos fundamentales del Cálculo diversas investigaciones han puesto de relieve la importancia del razonamiento covar...

Construcción del concepto de integral definida usando geometría dinámica utilizando distintos sistemas de representación

“…(2006) sugerían que relacionar distintas representaciones en la pantalla podía facilitar que se construyeran las conexiones necesarias. En esta investigación se confirma que usar simultáneamente distintas representaciones dinámicas e interactivas puede ayudar en la construcción del concepto, y ayuda a los estudiantes a superar la visión algorítmica del Cálculo, permitiéndoles desarrollar una mejor comprensión de la aproximación gráfica al Cálculo (Aranda & Callejo, 2017b).…”

Razonamiento covariacional de estudiantes universitarios en un acercamiento al concepto de integral definida mediante sumas de Riemann

“…La literatura relacionada con la comprensión de los estudiantes sobre el concepto integral definida incluye trabajos que se orientan a analizar si el estudiante desarrolla un aprendizaje conceptual, a partir de preguntas que involucran el teorema fundamental del cálculo, la relación integral-área y la noción de integral como una suma algebraica de áreas de rectángulos, o un aprendizaje procedimental, donde prevalecen preguntas relacionadas con técnicas de integración (Serhan, 2015); así como trabajos que permiten identificar qué significado prevalece o de qué manera el estudiante interpreta el símbolo de la integral definida de una función (Wagner, 2017). Otros trabajos se orientan al abordaje y uso de la integral definida en el aula, ya sea como el área bajo una curva, antiderivadas (Jones, 2015), mediante procesos de acumulación de áreas (Aranda y Callejo, 2017), utilizando funciones de acumulación (Thompson y Silverman, 2008), o enfocadas en la comprensión de las etapas que componen la integral definida desde una perspectiva de Riemann: partición, producto, suma y límite (Sealey, 2014). Algunas de ellas utilizan la tecnología de lápiz y papel y otras emplean tecnologías digitales, lo que permite representar de forma dinámica el refinamiento de una partición y generar nociones intuitivas del objeto de estudio (Caglayan, 2016).…”

Estudio de las aprehensiones en el registro gráfico y génesis instrumental de la integral definida

“…Las dificultades que se presentan en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la integral definida han sido advertidas por diferentes investigadores (Dominguez, Barniol y Zavala, 2019;Aranda y Callejo, 2017;Tatar y Zengin, 2016;Jones, 2015;Sealey, 2014;Boigues, Llinares y Estruch, 2010;Camacho et al, 2008). Respecto a los procesos involucrados en la construcción del concepto de integral definida, como la partición de un intervalo, las sumas de medidas de áreas de rectángulos, y el límite de estas sumas, se evidencian dificultades para relacionar la altura de cada rectángulo con la imagen de una función, no es clara la dependencia entre la sucesión de sumas de Riemann y en valor n de la partición realizada, no se emplea el concepto de sucesión de forma funcional, sino como un listado de elementos; no se relaciona el límite de las sumas de Riemann y la idea de área bajo la curva (Boigues et al, 2010), estas dificultades antes mencionadas, explican Kouropatov y Dreyfus (2014), puede deberse a que en este proceso de aproximación del área al aumentar el número de rectángulos se toma en cuenta no solo dos, sino hasta tres cantidades que varían simultáneamente.…”