В этой статье мы изучаем вопрос об интегрируемости функций от момента первого попадания в компактные множества и функций от момента первого возвращения для случайных процессов с дискрет ным параметром. Мы рассматриваем сначала класс процессов с от рицательным сносом, принимающих значения в R+, и доказываем для них общие достаточные условия интегрируемости функций этих случайных моментов. Условия формулируются в «мартингальном духе», впервые предложенном Фостером, и обобщают соответству ющие результаты, полученные ранее. Во второй части статьи мы обращаемся к тому же вопросу для отраженных случайных блужда ний с нулевым сносом внутри области. Применяя результаты первой части, мы получаем условия интегрируемости некоторых функций от момента первого попадания и момента первого возвращения для отра женных случайных блужданий. Полученные оценки дают довольно тонкие результаты для первых упомянутых случайных моментов и дополняют соответствующие результаты в [1]. Наконец, мы выво дим границы для скорости сходимости переходных вероятностей эргодического отраженного случайного блуждания к соответствующей инвариантной мере. Ключевые слова и фразы: момент попадания, счетные цепи Мар кова, отраженное случайное блуждание с отражением на границе.