General criteria of integrability of functions of passage-times for non-negative stochastic processes and their applications

Abstract

В этой статье мы изучаем вопрос об интегрируемости функций от момента первого попадания в компактные множества и функций от момента первого возвращения для случайных процессов с дискрет ным параметром. Мы рассматриваем сначала класс процессов с от рицательным сносом, принимающих значения в R+, и доказываем для них общие достаточные условия интегрируемости функций этих случайных моментов. Условия формулируются в «мартингальном духе», впервые предложенном Фостером, и обобщают соответству ющие результаты, полученные ранее. Во второй части статьи мы обращаемся к тому же вопросу для отраженных случайных блужда ний с нулевым сносом внутри области. Применяя результаты первой части, мы получаем условия интегрируемости некоторых функций от момента первого попадания и момента первого возвращения для отра женных случайных блужданий. Полученные оценки дают довольно тонкие результаты для первых упомянутых случайных моментов и дополняют соответствующие результаты в [1]. Наконец, мы выво дим границы для скорости сходимости переходных вероятностей эргодического отраженного случайного блуждания к соответствующей инвариантной мере. Ключевые слова и фразы: момент попадания, счетные цепи Мар кова, отраженное случайное блуждание с отражением на границе.

Slow recurrent regimes for a class of one-dimensional stochastic growth models

“…Proposition B.1 (Proposition 1, [4]). Let F be a finite subset of X , τ F = inf{n > 0, X n ∈ F } the hitting time of F and τ = inf{n > 0, X n = X 0 } be the first return time.…”

“…We now recall a proposition from [4] which gives a link between integrability of hitting times of a finite set and of first return times to the initial state.…”

“…In this section, we prove Theorem 1.2, firstly the countable state space case and secondly the general state space case. We apply some results from [4] that we recall in the last section. Let G be the set of positive functions f such that there exist a positive function h such that h(x) → 0 as x → ∞ and a positive constant c such that for any positive m ≥ 1,…”

“…Inequality (2) enables us to give all possible behaviors of our class of recurrent growth models. In a series of papers [3,4,5], Aspandiiarov and al. proved upper and lower bounds for the tail of hitting-time into compact sets, for processes verifying some conditions, improving previous results of Lamperti [12].…”

“…In section 5, we give various examples, in particular extinction time of state-dependent Galton-Watson processes. In the last section, we prove a key lemma for the lower bound of Theorem 1.1 and we recall some results from [4] that we use throughout this article.…”