Resumo. Buscamos investigar o uso de derivadas fracionárias no modelo SIR, tanto analiticamente quanto por meio de simulações. Nos interessamos pelos questionamentos de persistência de características na transição do modelo inteiro para o fracionário. Em particular, analisamos unidades, conservação da população, a impossibilidade de utilizar a derivada de Riemann-Liouville, cuidados com a não negatividade e a monotonicidade e, finalmente, o ponto de pico e os equilíbrios.Palavras-chave. Modelo SIR, Derivadas Fracionárias, Persistência de Características
IntroduçãoA matemática está desempenhando um papel cada vez mais importante na física e nas ciências biológicas, fazendo ressurgir o interesse por técnicas modernas e clássicas da matemática aplicada [4]. A biologia se torna mais quantitativa e, por um lado, temos a realidade física, fornecendo dados. Por outro, a elaboração de hipóteses e teorias que buscam organizar a realidade por meio de leis matemáticas: é a construção de um modelo. O modelo criado, então, é estudado matematicamente e computacionalmente, após o que necessita ser confrontado com os dados para sua validação. Assim, a teoria matemática e a realidade se retroalimentam de maneira contínua.A modelagem fracionária permite capturar a dependência de estágios anteriores em materiais ou processos e, nesse contexto, torna mais próximos da realidade fenômenos biológicos, reológicos, sistemas mecânicos, elétricos etc [22]. Comumente, um modelo já existente é flexibilizado pela substituição da ordem inteira da derivada por uma fracionária. Em particular, modelos tipo SIR têm sido largamente estudados com ordens fracionárias (exemplos são citados ao longo do texto).Embora essa substituição possa produzir estimativas muito acuradas, questionamos: quais características do modelo original são mantidas? A mudança na ordem das derivadas estabelece automaticamente modelos consistentes quanto à definição de parâmetros, significado físico, conservação e unidades? O que dizer sobre não negatividade, monotonicidade (quando houver), entre outras questões? O uso de técnicas para resolver esses modelos analiticamente ou numericamente é um campo interessante por si só. Porém, do ponto de vista da modelagem, é importante tentar verificar como, onde e por que as derivadas fracionárias interferem no modelo. Esses questionamentos são trabalhados na Seção 3, após alguns preliminares. Na Seção 4, comparamos teoria e resultados numéricos e, na Conclusão, citamos um exemplo diferenciado de modelagem fracionária.
PreliminaresNesta seção, apresentamos as principais definições e resultados utilizados no trabalho.
O Cálculo FracionárioEm uma carta de 1695, l'Hôpital questionou Leibniz sobre a possibilidade e o significado de uma derivada de ordem 1/2, acontecimento que pode ser considerado como o nascimento do Cálculo Fracionário. Nos três séculos seguintes, importantes avanços foram realizados por Liouville, Riemann,