We consider the obtention of modes and frequencies of segmented Euler-Bernoulli beams with internal damping and external viscous damping at the discontinuities of the sections. This is done by following a Newtonian approach in terms of a fundamental response of stationary beams subject to both types of damping. The use of a basis generated by the fundamental solution of a differential equation of fourth-order allows to formulate the eigenvalue problem and to write the modes shapes in a compact manner. For this, we consider a block matrix that carries the boundary conditions and intermediate conditions at the beams and values of the fundamental matrix at the ends and intermediate points of the beam. For each segment, the elements of the basis have the same shape since they are chosen as a convenient translation of the elements of the basis for the first segment. Our method avoids the use of the first-order state formulation also to rely on the Euler basis of a differential equation of fourth-order and it allows to envision how conditions will influence a chosen basis.

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We investigate the spectrum of frequencies of a nonlocal simply supported Timoshenko beam. When the mass matrix term is nonsingular, we can find the amplitudes of free vibrations as solutions of a second‐order matrix differential equation. These solutions are given in terms of a fundamental basis involving an impulsive matrix response and its derivative. This latter is given in closed‐form, involving a scalar function, its derivatives and coupling matrices. Simply supported boundary conditions have a nonclassical nature, but the frequencies are natural due to the influence of the nonlocal parameter. From the characteristic equation, we can find two branches of nonlocal frequencies referred to as the first and second spectrum and a critical frequency. This latter is the same cut‐off frequency for waves solutions of the nonlocal beam without boundary conditions. The nonlocal spectra are bounded, in contrast with the unbounded spectra of a local beam. For classifying eigenvalues as simple or double, the scalar wave function is useful. Simple eigenvalues occur when only one of the basic roots of the nonlocal characteristic polynomial are harmonically spaced, and double when both are harmonic and different. The eigenmodes have been found for both branches of the spectrum, and they are always oscillatory. At the critical frequency, the shape modes are determined by a limit process with the scalar function, resulting in occurrence the one pure‐shear mode. For a singular mass matrix, modes will exist for certain values of the nonlocal parameter but they are not unique.

The van der Waals interaction elastic force is included in the modeling of multi-walled carbon nanotubes (MWNT) as an Euler-Bernoulli elastic system. The coupled eigenvalue problem is formulated in terms of a basis generated by a fundamental matrix response.

Resumo. Este trabalho tem como objetivo analisar os efeitos da força externa e distúrbios de fronteira sobre a resposta de um sistema modelado segundo a teoria para vigas uniformes tipo Euler-Bernoulli. A resposta do sistemaé determinada em termos da resposta impulso e das respostas devido aos distúrbios de fronteira. Este processoé realizado no próprio espaço físico do problema, sem a necessidade do uso da formulação do espaço de estado, através de umaánalise modal direta na equação de segunda ordem. IntroduçãoO propósito deste trabalhoé analisar os efeitos de uma força externa e distúrbios nas extremidades de uma figa fixa-livre descrita pelo modelo de Euler-Bernoulli e sujeita a forças de amortecimento viscoso e material. Para tanto,é utilizada a análise modal diretamente no espaço físico [2], [3], preservando características próprias, como simetria e positividade. Isto nãoé o caso com a formulação do espaço de estado comumente encontrada na literatura [4], [7].Sistemas distribuídos, nos quais os parâmetros são dependentes do domínio espacial, são descritos por problemas de contorno, consistindo de uma ou várias equações diferenciais parciais que devem ser satisfeitas sobre um domínio Ω para um número apropriado de condições de contorno e dados iniciais.A resposta transienteé caracterizada em termos da resposta impulso e de suas derivadas. A análise modalé utilizada no cálculo da resposta impulso e a inclusão dos distúrbiosé realizada com o auxílio da função de Green espacial.São apresentadas simulações numéricas para os modos de vibração, resposta impulso, efeitos da força externa, movimento na base, torque e variação dos parâmetros de amortecimento.

Neste trabalho, é considerado um sistema formado por duas cordas paralelas, bi-apoiadas sujeitas a uma tensão constante e anexadas por uma camada viscoelástica. O deslocamento transversal do modelo é descrito por duas equações diferenciais parciais de segunda ordem acopladas devido ao termo viscoelástico. O sistema é resolvido através da metodologia que usa uma formulação matricial em blocos e a base dinâmica para determinar as frequências e as autofunções ou modos de vibração do problema.

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