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We give a global geometric decomposition of continuously differentiable vector fields on R n . More precisely, given a vector field of class C 1 on R n , and a geometric structure on R n , we provide a unique global decomposition of the vector field as the sum of a left (right) gradient-like vector field (naturally associated to the geometric structure) with potential function vanishing at the origin, and a vector field which is left (right) orthogonal to the identity, with respect to the geometric structure. As application, we provide a criterion to decide topological conjugacy of complete vector fields of class C 1 on R n based on topological conjugacy of the corresponding parts given by the associated geometric decompositions. MSC 2010: 37C10; 34A26; 37C15.

We will show that if a dynamical system has enough constants of motion then a Moser-Weinstein type theorem can be applied for proving the existence of periodic orbits in the case when the linearized system is degenerate. To cite this article: P. Birtea et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007). Résumé Sur l'existence d'orbites périodiques en cas de valeur propre zéro. On va montrer que si un système dynamique a assez d'intégrales premières, alors on peut utiliser un théorème de type Moser-Weinstein pour prouver l'existence d'orbites périodiques, même si le système linéarisé associé est dégénéré. Pour citer cet article : P. Birtea et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007). Pour étudier l'existence d'orbites périodiques d'un système d'équations différentielles ordinaires, en utilisant le théorème de Moser [3], le système linéarisé autour d'un point d'équilibre doit être nondégénéré. Dans le cas dégénéré, si on trouve assez d'intégrales premières, on obtient un résultat similaire à ce théorème, donné par : Théorème 0.1. Soitẋ = X(x) un système dynamique, x 0 un point d'équilibre, i.e., X(x 0 ) = 0 et C := (C 1 , . . . , C k ) : M → R k une intégrale première vectorielle du système, avec C(x 0 ) une valeur régulière de C. Si (i) l'espace propre correspondant à la valeur propre zéro du système linéarisé autour de x 0 a la dimension k, (ii) DX(x 0 ) a une paire de valeurs propres imaginaires ±iω, ω = 0, (iii) il existe une intégrale première I : M → R de X, avec dI (x 0 ) = 0 telle que Birtea et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007) 779-784 alors, pour chaque ε ∈ R suffisamment petit, toutes les surfaces intégrales I (x) = I (x 0 ) + ε 2 contiennent au moins une orbite périodique de X.

Using the framework of metriplectic systems on R n we will describe a constructive geometric method to add a dissipation term to a Hamilton-Poisson system such that any solution starting in a neighborhood of a nonlinear stable equilibrium converges towards a certain invariant set. The dissipation term depends only on the Hamiltonian function and the Casimir functions.MSC: 37C10, 37C75.

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MSC: 58A30 53B21 37C10Keywords: Affine distributions Riemannian manifolds Contravariant Grassmann algebra Conservative/dissipative dynamics a b s t r a c t Using a coordinate free characterization of hyperplanes intersection, we provide explicitly a set of local generators for a smooth affine distribution given by those smooth vector fields X ∈ X(U) defined eventually on an open subset U ⊆ M of a smooth Riemannian manifold (M, g), that verifies the relations g(X , X 1 ) = · · · = g(X , X k ) = 0, g(X