The singular nonsymmetric rank one perturbation of
a self-adjoint operator from classes ${\mathcal H}_{-1}$ and ${\mathcal H}_{-2}$ was considered for the first time in works by
Dudkin M.E. and Vdovenko T.I. \cite{k8,k9}. In the mentioned papers, some properties of the point spectrum are described,
which occur during such perturbations.
This paper proposes generalizations of the results presented in \cite{k8,k9} and \cite{k2} in the case of
nonsymmetric class ${\mathcal H}_{-2}$ perturbations of finite rank.
That is, the formal expression of the following is considered
\begin{equation*}
\tilde A=A+\sum \limits_{j=1}^{n}\alpha_j\langle\cdot,\omega_j\rangle\delta_j,
\end{equation*}
where $A$ is an unperturbed self-adjoint operator on a separable Hilbert space
${\mathcal H}$, $\alpha_j\in{\mathbb C}$, $\omega_j$, $\delta_j$, $j=1,2, ..., n<\infty$ are
vectors from the negative space ${\mathcal H}_{-2}$ constructed by the operator $A$,
$\langle\cdot,\cdot\rangle$ is the dual scalar product between positive and negative spaces.
We generalize rank one singular nonsymmetric perturbations of a self-adjoint operator from the class H �1 to the case of a finite rank. The definition and description of the resolvent are presented. The main assertions made in the paper are illustrated by a specific example.
УДК 517.9
Узагальнено зв’язок класичної проблеми моментiв iз спектральною теорiєю матриць Якобi. Наведено розв’язок двовимiрної напiвсильної проблеми моментiв та запропоновано аналог матриць типу Якобi, що вiдповiдає двовимiрнiй напiвсильнiй проблемi моментiв, та вiдповiдну систему полiномiв, ортогональних вiдносно мiри iз компактним носiєм на дiйснiй площинi.
УДК 517.9
Наведено пряму й обернену спектральнi задачi щодо блочних матриць типу Якобi, що вiдповiдають двовимiрнiй дiйснiй напiвсильнiй проблемi моментiв. Зокрема, отримано три матрицi, якi мають блочну тридiагональну структуру i дiють у просторi типу як комутуючi самоспряженi оператори, два з яких є взаємно оберненими.
The basic principles of the theory of singularly perturbed self-adjoint operatorsare generalized to the case of closed linear operators with non-symmetric perturbation of rank one.Namely, firstly linear closed operators are considered that coincide with each other on a dense set in a Hilbert space.The theory of singularly perturbed self-adjoint operators arose from the need to consider differential expressions in such terms as the Dirac $\delta$-function.Since it is important to consider expressions given not only by symmetric operators, the generalization (transfer) of the basic principles of the theory of singularly perturbed self-adjoint operators in the case of non-symmetric ones is important problem. The main facts of the theory include the definition of a singularly perturbed linear operator and the resolvent formula in the cases of ${\mathcal H}_{-1}$-class and ${\mathcal H}_{-2}$-class.The paper additionally describes the possibility of the appearance a point of the point spectrum and the construction of a perturbation with a predetermined point.In comparison with self-adjoint perturbations, the description of perturbations by non-symmetric terms is unexpected.Namely, in some cases, when the perturbed by a vectors from ${\mathcal H}_{-2}$ operator can be conveniently described by methods of class ${\mathcal H}_{-1}$, that is impossible in the case of symmetric perturbations of a self-adjoint operator. The perturbation of self-adjoint operators in a non-symmetric manner fully fits into the proposed studies.Such operators, for example, generalize models with nonlocal interactions, perturbations of the harmonic oscillator by the $\delta$-potentials, and can be used to study perturbations generated by a delay or an anticipation.
Анотація. Останнім часом у теорії наближень широко використовують DTмодулі гладкості, які було введено З. Дітзіаном і В.Тотіком для функцій, неперервних на відрізку [-1;1]. Актуальним було питання про наближення функцій на множинах комплексної площини за допомогою модулів, аналогічних DT-модулям гладкості. В результаті чого було введено аналог DT-модуля гладкості на областях комплексної площини з кусково-гладкою межею та досліджено його властивості для подальшої побудови конструктивної характеристики рівномірного наближення функцій в термінах введеного модуля гладкості. Означення D-модуля гладкості порядку k вводиться як супремум від різниці значень функції та многочлена Лагранжа, де внутрішній супремум береться по всіх наборах точок, які задовольняють певні умови. У проведених дослідженнях було використано методи рівномірного наближення функцій, зокрема інтерполювання функцій многочленами Лагранжа, розділені різниці, многочленні ядра Джексона та Дзядика, тотожність Поповічіу. Основним результатом дослідження є властивість нормальності введеного модуля гладкості, яку сформульовано у вигляді теореми і доведено. Розглянутий модуль гладкості планується використовувати для побудови конструктивної характеристики рівномірного наближення класів неперервних функцій на областях комплексної площини з кусково-гладкою межею. Ключові слова: наближення функцій, комплексна площина, множини з кусково-гладкою межею, D-модуль гладкості
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.