Remark to function approximation by modules of smoothness

Abstract

Анотація. Останнім часом у теорії наближень широко використовують DTмодулі гладкості, які було введено З. Дітзіаном і В.Тотіком для функцій, неперервних на відрізку [-1;1]. Актуальним було питання про наближення функцій на множинах комплексної площини за допомогою модулів, аналогічних DT-модулям гладкості. В результаті чого було введено аналог DT-модуля гладкості на областях комплексної площини з кусково-гладкою межею та досліджено його властивості для подальшої побудови конструктивної характеристики рівномірного наближення функцій в термінах введеного модуля гладкості. Означення D-модуля гладкості порядку k вводиться як супремум від різниці значень функції та многочлена Лагранжа, де внутрішній супремум береться по всіх наборах точок, які задовольняють певні умови. У проведених дослідженнях було використано методи рівномірного наближення функцій, зокрема інтерполювання функцій многочленами Лагранжа, розділені різниці, многочленні ядра Джексона та Дзядика, тотожність Поповічіу. Основним результатом дослідження є властивість нормальності введеного модуля гладкості, яку сформульовано у вигляді теореми і доведено. Розглянутий модуль гладкості планується використовувати для побудови конструктивної характеристики рівномірного наближення класів неперервних функцій на областях комплексної площини з кусково-гладкою межею. Ключові слова: наближення функцій, комплексна площина, множини з кусково-гладкою межею, D-модуль гладкості