Концепция ≪белого шума≫, первоначально построенная в конечномерных про-странствах, переносится в бесконечномерные пространства. Цель переноса -развитие теории стохастических уравнений соболевского типа и разработка приложений, имею-щих практическую значимость. Для достижения цели вводится производная Нельсона -Гликлиха и строятся пространства ≪шумов≫. Уравнения соболевского типа с отно-сительно p-ограниченными операторами рассматриваются в пространствах дифферен-цируемых шумов , причем доказывается существование и единственность их класси-ческих решений. В качестве приложения рассматривается стохастическое уравнение Баренблатта -Желтова -Кочиной в ограниченной области с однородным граничным условием Дирихле и начальным условием Шоуолтера -Сидорова.Ключевые слова: уравнения соболевского типа; винеровский процесс; производная Нельсона -Гликлиха; белый шум ; пространство шумов ; стохастическое урав-нение Баренблатта -Желтова -Кочиной. ВведениеЛинейное стохастическое дифференциальное уравнение в простейшей ситуации имеет видгде S и A -некоторые линейные операторы, которые в дальнейшем будут определены; ψ = ψ(t) -детерминированное, а ω = ω(t) -стохастическое внешние воздействия; η = η(t) -искомый случайный процесс. Изначально под dω понимался дифференциал винеровского процесса ω = W (t), обобщенная производная которого традиционно трактуется как белый шум. Первым обыкновенные дифференциальные уравнения вида (0.1) начал изучать К. Ито, затем к исследованиям подключились Р.Л. Стратонович и А.В. Скороход. Подход Ито -Стратоновича -Скорохода в конечномерном случае популярен до сих пор [1, 2]. Более того, он успешно распространен и на бесконечномерную ситуацию [3, 4], и даже на уравнения соболевского типа [5, 6]. Отметим еще подход, представленный школой И.В. Мельниковой [7, 8], в котором уравнение (0.1) рассматривается в пространствах Шварца, где обобщенная производная винеровского процесса имеет смысл. Между тем возник [9] и активно развивается [10, 11] новый подход в исследованиях уравнения (0.1), где под ≪белым шумом≫ понимается производная Нельсона -Гликлиха винеровского процесса. (Заметим, что данный ≪белый шум≫ более адекватен теории бро-уновского движения Эйнштейна -Смолуховского, нежели традиционный белый шум [9, 10].) Первоначально ≪белый шум≫ использовался в теории оптимальных измерений [12, 13], где 90Вестник ЮУрГУ. Серия ≪Математическое моделирование и программирование≫
The concept of “white noise,” initially established in finite-dimensional spaces, is transferred to infinite-dimensional case. The goal of this transition is to develop the theory of stochastic Sobolev type equations and to elaborate applications of practical interest. To reach this goal the Nelson-Gliklikh derivative is introduced and the spaces of “noises” are developed. The Sobolev type equations with relatively sectorial operators are considered in the spaces of differentiable “noises.” The existence and uniqueness of classical solutions are proved. The stochastic Dzektser equation in a bounded domain with homogeneous boundary condition and the weakened Showalter-Sidorov initial condition is considered as an application.
 ñòàòüå ïðåäñòàâëåí îáçîð ðàáîò àâòîðà ïî èçó÷åíèþ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâ-ëåíèÿ äëÿ ïîëóëèíåéíûõ ìîäåëåé ñîáîëåâñêîãî òèïà ñ s-ìîíîòîííûì è p-êîýðöèòèâíûì îïåðàòîðàìè. Ïðèâîäÿòñÿ òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ñëàáîãî îáîáùåí-íîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè èëè çàäà÷è Øîóîëòåðà Ñèäîðîâà äëÿ îäíîãî êëàññà âû-ðîaeäåííûõ íåêëàññè÷åñêèõ ìîäåëåé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ïðåäñòàâëåííàÿ òåîðèÿ áàçèðóåòñÿ íà ìåòîäå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà è ìåòîäå Ãàëåðêèíà Ïåòðîâà. Ðàçðà-áîòàííàÿ ñõåìà ÷èñëåííîãî ìåòîäà ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ïðèáëèaeåííûå ðåøåíèÿ çàäà-÷è Êîøè è çàäà÷è Øîóîëòåðà Ñèäîðîâà äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ìîäåëåé. Ñòðîèòñÿ àáñòðàêòíàÿ ñõåìà èçó÷åíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äàííîãî êëàññà ìîäå-ëåé. Íà îñíîâå àáñòðàêòíûõ ðåçóëüòàòîâ äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðîöåññàìè ôèëüòðàöèè è äåôîðìàöèè. Ïðèâîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.Êëþ÷åâûå ñëîâà: óðàâíåíèÿ ñîáîëåâñêîãî òèïà; îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå; ìåòîä ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà; ìåòîä Ãàëåðêèíà Ïåòðîâà.Ñâåòëîé ïàìÿòè ïðîôåññîðà Àëüôðåäî Ëîðåíöè ïîñâÿùàåòñÿ Ââåäåíèå  ñâÿçè ñ âûñîêèì òåìïîì ðàçâèòèÿ ïðîèçâîäñòâà è òåõíèêè âîçíèêàåò âñå áîëüøàÿ ïîòðåáíîñòü â ïîñòðîåíèè è èçó÷åíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, â ÷àñòíîñòè, îïèñûâàþùèõ ïðîöåññû óïðóãîñòè è ôèëüòðàöèè. Ïðîâåäåíèå íàòóðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ äîðîãî, ïîýòîìó âîçìîaeíîñòü èçó÷åíèÿ ïðîöåññà ïðè ïîìîùè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äîñòàòî÷íî àêòóàëüíà. Áîëüøîé êëàññ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé îñíîâàí íà ïîëóëèíåéíûõ íåêëàññè÷å-ñêèõ óðàâíåíèÿõ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, íå ðàçðåøåííûõ îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè.  ñîâðåìåííîé íàó÷íîé ëèòåðàòóðå òàêèå ìîäåëè ïðèíÿòî íàçûâàòü ìàòåìàòè÷å-ñêèìè ìîäåëÿìè ñîáîëåâñêîãî òèïà.Êàê ïðàâèëî, ïðîöåññû, ïðîòåêàþùèå â ìåõàíèêå, òåõíèêå è ïðîèçâîäñòâå, óïðàâëÿå-ìû. Îñîáóþ ðîëü èãðàåò èññëåäîâàíèå âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ íà èçó÷àåìûé ïðîöåññ, ïðè ïîìîùè êîòîðîãî ìû ìîaeåì äîáèòüñÿ aeåëàåìîãî ðåçóëüòàòà. Èçó÷åíèå çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ íîñèò íåñîìíåííî ïðàêòè÷åñêèé õàðàêòåð. ñòàòüå îïèñûâàþòñÿ ðàçðàáîòàííûå àâòîðîì ìåòîäû, ïðè ïîìîùè êîòîðûõ èçó÷àþòñÿ ñëåäóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè: ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü Îñêîëêîâà íåëèíåéíîé ôèëü-òðàöèè, îáîáùåííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèëüòðàöèîííàÿ ìîäåëü Áóññèíåñêà, îáîáùåííàÿ ìà-òåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äåôîðìàöèè êîíñòðóêöèè èç äâóòàâðîâûõ áàëîê. Ðàññìîòðèì êàaeäóþ îòäåëüíî.Âåñòíèê ÞÓðÃÓ. Ñåðèÿ ≪Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è ïðîãðàììèðîâàíèå≫ (Âåñòíèê ÞÓðÃÓ ÌÌÏ). 2015. Ò. 8, 3. Ñ. 524 #
No abstract
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.